Risposta finale al problema
$-\frac{1}{2}x\ln\left|x+1\right|+\frac{1}{2}x\ln\left|x-1\right|+\frac{1}{2}\left(\left(x+1\right)\ln\left|x+1\right|-x-1\right)-\frac{1}{2}\left(\left(x-1\right)\ln\left|x-1\right|-x+1\right)+C_0$
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Soluzione passo-passo
1
Riscrivere la frazione $\frac{x}{x^2-1}$ all'interno dell'integrale come prodotto di due funzioni: $x\frac{1}{x^2-1}$
$\int x\frac{1}{x^2-1}dx$
2
Possiamo risolvere l'integrale $\int x\frac{1}{x^2-1}dx$ applicando il metodo dell'integrazione per parti per calcolare l'integrale del prodotto di due funzioni, utilizzando la seguente formula
$\displaystyle\int u\cdot dv=u\cdot v-\int v \cdot du$
Passi intermedi
Applicare la formula: $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$
$1$
3
Innanzitutto, individuare o scegliere $u$ e calcolarne la derivata, $du$
$\begin{matrix}\displaystyle{u=x}\\ \displaystyle{du=dx}\end{matrix}$
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4
Ora, identificare $dv$ e calcolare $v$
$\begin{matrix}\displaystyle{dv=\frac{1}{x^2-1}dx}\\ \displaystyle{\int dv=\int \frac{1}{x^2-1}dx}\end{matrix}$
5
Risolvere l'integrale per trovare $v$
$v=\int\frac{1}{x^2-1}dx$
Passi intermedi
Simplify $\sqrt{x^2}$ using the power of a power property: $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$. In the expression, $m$ equals $2$ and $n$ equals $\frac{1}{2}$
$\int\frac{1}{\left(x+\sqrt{1}\right)\left(\sqrt{x^2}-\sqrt{1}\right)}dx$
Applicare la formula: $a^b$$=a^b$, dove $a=1$, $b=\frac{1}{2}$ e $a^b=\sqrt{1}$
$\int\frac{1}{\left(x+1\right)\left(\sqrt{x^2}-\sqrt{1}\right)}dx$
Simplify $\sqrt{x^2}$ using the power of a power property: $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$. In the expression, $m$ equals $2$ and $n$ equals $\frac{1}{2}$
$\int\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x-\sqrt{1}\right)}dx$
Applicare la formula: $a^b$$=a^b$, dove $a=1$, $b=\frac{1}{2}$ e $a^b=\sqrt{1}$
$\int\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x- 1\right)}dx$
Applicare la formula: $1x$$=x$, dove $x=-1$
$\int\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}dx$
6
Fattorizzazione della differenza di quadrati $x^2-1$ come prodotto di due binomi coniugati
$\int\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}dx$
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Passi intermedi
Riscrivere la frazione $\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}$ in $2$ frazioni più semplici utilizzando la scomposizione in frazioni parziali.
$\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}$
Trovare i valori dei coefficienti incogniti: $A, B$. Il primo passo consiste nel moltiplicare entrambi i lati dell'equazione del passo precedente per $\left(x+1\right)\left(x-1\right)$
$1=\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}\right)$
Moltiplicazione di polinomi
$1=\frac{\left(x+1\right)\left(x-1\right)A}{x+1}+\frac{\left(x+1\right)\left(x-1\right)B}{x-1}$
$1=\left(x-1\right)A+\left(x+1\right)B$
Assegnando i valori a $x$ si ottiene il seguente sistema di equazioni
$\begin{matrix}1=-2A&\:\:\:\:\:\:\:(x=-1) \\ 1=2B&\:\:\:\:\:\:\:(x=1)\end{matrix}$
Procedere alla risoluzione del sistema di equazioni lineari
$\begin{matrix} -2A & + & 0B & =1 \\ 0A & + & 2B & =1\end{matrix}$
Riscrivere come matrice di coefficienti
$\left(\begin{matrix}-2 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1\end{matrix}\right)$
Ridurre la matrice originale a una matrice identità utilizzando l'eliminazione gaussiana
$\left(\begin{matrix}1 & 0 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & \frac{1}{2}\end{matrix}\right)$
L'integrale di $\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}$ in frazioni scomposte è uguale a
$\frac{-1}{2\left(x+1\right)}+\frac{1}{2\left(x-1\right)}$
7
Riscrivere la frazione $\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}$ in $2$ frazioni più semplici utilizzando la scomposizione in frazioni parziali.
$\frac{-1}{2\left(x+1\right)}+\frac{1}{2\left(x-1\right)}$
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8
Applicare la formula: $\int\frac{a}{bc}dx$$=\frac{1}{c}\int\frac{a}{b}dx$, dove $a=-1$, $b=x+1$ e $c=2$
$\frac{1}{2}\int\frac{-1}{x+1}dx+\int\frac{1}{2\left(x-1\right)}dx$
9
Applicare la formula: $\int\frac{a}{bc}dx$$=\frac{1}{c}\int\frac{a}{b}dx$, dove $a=1$, $b=x-1$ e $c=2$
$\frac{1}{2}\int\frac{-1}{x+1}dx+\frac{1}{2}\int\frac{1}{x-1}dx$
10
Applicare la formula: $\int\frac{n}{x+b}dx$$=nsign\left(x\right)\ln\left(x+b\right)+C$, dove $b=1$ e $n=-1$
$-\left(\frac{1}{2}\right)\ln\left(x+1\right)+\frac{1}{2}\int\frac{1}{x-1}dx$
11
Applicare la formula: $\int\frac{n}{x+b}dx$$=nsign\left(x\right)\ln\left(x+b\right)+C$, dove $b=-1$ e $n=1$
$-\frac{1}{2}\ln\left(x+1\right)+1\left(\frac{1}{2}\right)\ln\left(x-1\right)$
Passi intermedi
Espandere l'integrale $\int\left(-\frac{1}{2}\ln\left(x+1\right)+\frac{1}{2}\ln\left(x-1\right)\right)dx$ in $2$ integrali utilizzando la regola della somma degli integrali, per poi risolvere ogni integrale separatamente
$\left(-\frac{1}{2}\ln\left(x+1\right)+\frac{1}{2}\ln\left(x-1\right)\right)x- \left(-\frac{1}{2}\right)\int\ln\left(x+1\right)dx- \left(\frac{1}{2}\right)\int\ln\left(x-1\right)dx$
Applicare la formula: $\frac{a}{b}c$$=\frac{ca}{b}$, dove $a=-1$, $b=2$, $c=-1$, $a/b=-\frac{1}{2}$ e $ca/b=- \left(-\frac{1}{2}\right)\int\ln\left(x+1\right)dx$
$\left(-\frac{1}{2}\ln\left|x+1\right|+\frac{1}{2}\ln\left|x-1\right|\right)x+\frac{1}{2}\int\ln\left(x+1\right)dx- \left(\frac{1}{2}\right)\int\ln\left(x-1\right)dx$
Applicare la formula: $\frac{a}{b}c$$=\frac{ca}{b}$, dove $a=1$, $b=2$, $c=-1$, $a/b=\frac{1}{2}$ e $ca/b=- \left(\frac{1}{2}\right)\int\ln\left(x-1\right)dx$
$\left(-\frac{1}{2}\ln\left|x+1\right|+\frac{1}{2}\ln\left|x-1\right|\right)x+\frac{1}{2}\int\ln\left(x+1\right)dx-\frac{1}{2}\int\ln\left(x-1\right)dx$
12
Ora sostituite i valori di $u$, $du$ e $v$ nell'ultima formula
$\left(-\frac{1}{2}\ln\left|x+1\right|+\frac{1}{2}\ln\left|x-1\right|\right)x+\frac{1}{2}\int\ln\left(x+1\right)dx-\frac{1}{2}\int\ln\left(x-1\right)dx$
Spiegate meglio questo passaggio
13
Moltiplicare il termine singolo $x$ per ciascun termine del polinomio $\left(-\frac{1}{2}\ln\left(x+1\right)+\frac{1}{2}\ln\left(x-1\right)\right)$
$-\frac{1}{2}x\ln\left(x+1\right)+\frac{1}{2}x\ln\left(x-1\right)+\frac{1}{2}\int\ln\left(x+1\right)dx-\frac{1}{2}\int\ln\left(x-1\right)dx$
14
Applicare la formula: $\int\ln\left(x+b\right)dx$$=\left(x+b\right)\ln\left(x+b\right)-\left(x+b\right)+C$, dove $b=1$ e $x+b=x+1$
$-\frac{1}{2}x\ln\left|x+1\right|+\frac{1}{2}x\ln\left|x-1\right|+\frac{1}{2}\left(\left(x+1\right)\ln\left|x+1\right|-\left(x+1\right)\right)-\frac{1}{2}\int\ln\left(x-1\right)dx$
15
Applicare la formula: $\int\ln\left(x+b\right)dx$$=\left(x+b\right)\ln\left(x+b\right)-\left(x+b\right)+C$, dove $b=-1$ e $x+b=x-1$
$-\frac{1}{2}x\ln\left|x+1\right|+\frac{1}{2}x\ln\left|x-1\right|+\frac{1}{2}\left(\left(x+1\right)\ln\left|x+1\right|-\left(x+1\right)\right)-\frac{1}{2}\left(\left(x-1\right)\ln\left|x-1\right|-\left(x-1\right)\right)$
Passi intermedi
Applicare la formula: $-\left(a+b\right)$$=-a-b$, dove $a=x$, $b=1$, $-1.0=-1$ e $a+b=x+1$
$-\frac{1}{2}x\ln\left|x+1\right|+\frac{1}{2}x\ln\left|x-1\right|+\frac{1}{2}\left(\left(x+1\right)\ln\left|x+1\right|-x-1\right)-\frac{1}{2}\left(\left(x-1\right)\ln\left|x-1\right|-\left(x-1\right)\right)$
Applicare la formula: $-\left(a+b\right)$$=-a-b$, dove $a=x$, $b=-1$, $-1.0=-1$ e $a+b=x-1$
$-\frac{1}{2}x\ln\left|x+1\right|+\frac{1}{2}x\ln\left|x-1\right|+\frac{1}{2}\left(\left(x+1\right)\ln\left|x+1\right|-x-1\right)-\frac{1}{2}\left(\left(x-1\right)\ln\left|x-1\right|-x+1\right)$
16
Semplificare l'espressione
$-\frac{1}{2}x\ln\left(x+1\right)+\frac{1}{2}x\ln\left(x-1\right)+\frac{1}{2}\left(\left(x+1\right)\ln\left(x+1\right)-x-1\right)-\frac{1}{2}\left(\left(x-1\right)\ln\left(x-1\right)-x+1\right)$
Spiegate meglio questo passaggio
17
Poiché l'integrale che stiamo risolvendo è un integrale indefinito, quando finiamo di integrare dobbiamo aggiungere la costante di integrazione $C$
$-\frac{1}{2}x\ln\left|x+1\right|+\frac{1}{2}x\ln\left|x-1\right|+\frac{1}{2}\left(\left(x+1\right)\ln\left|x+1\right|-x-1\right)-\frac{1}{2}\left(\left(x-1\right)\ln\left|x-1\right|-x+1\right)+C_0$
Risposta finale al problema $-\frac{1}{2}x\ln\left|x+1\right|+\frac{1}{2}x\ln\left|x-1\right|+\frac{1}{2}\left(\left(x+1\right)\ln\left|x+1\right|-x-1\right)-\frac{1}{2}\left(\left(x-1\right)\ln\left|x-1\right|-x+1\right)+C_0$
