Risposta finale al problema
Soluzione passo-passo
Come posso risolvere questo problema?
- Sostituzione di Weierstrass
- Prodotto di binomi con termine comune
- Metodo FOIL
- Per saperne di più...
Possiamo risolvere l'integrale $\int\frac{x}{x^2-1}dx$ applicando il metodo di integrazione della sostituzione trigonometrica utilizzando la sostituzione
Differenziare entrambi i lati dell'equazione $x=\sec\left(\theta \right)$
Trovare la derivata
Applicare l'identità trigonometrica: $\frac{d}{dx}\left(\sec\left(\theta \right)\right)$$=\frac{d}{dx}\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)\tan\left(\theta \right)$, dove $x=\theta $
Applicare la formula: $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$, dove $x=\theta $
Ora, per riscrivere $d\theta$ in termini di $dx$, dobbiamo trovare la derivata di $x$. Dobbiamo calcolare $dx$, e lo possiamo fare derivando l'equazione di cui sopra
Applicare la formula: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, dove $a=\sec\left(\theta \right)\tan\left(\theta \right)$, $b=\sec\left(\theta \right)$ e $c=\sec\left(\theta \right)^2-1$
Sostituendo l'integrale originale, si ottiene
Applicare l'identità trigonometrica: $\sec\left(\theta \right)^2-1$$=\tan\left(\theta \right)^2$, dove $x=\theta $
Applicare la formula: $\frac{a}{a^n}$$=\frac{1}{a^{\left(n-1\right)}}$, dove $a=\tan\left(\theta \right)$ e $n=2$
Applicare l'identità trigonometrica: $\frac{\sec\left(\theta \right)^n}{\tan\left(\theta \right)}$$=\sec\left(\theta \right)^{\left(n-1\right)}\csc\left(\theta \right)$, dove $x=\theta $ e $n=2$
Riscrivere l'espressione trigonometrica $\frac{\sec\left(\theta \right)^2}{\tan\left(\theta \right)}$ all'interno dell'integrale
Applicare l'identità trigonometrica: $\sec\left(\theta \right)$$=\frac{1}{\cos\left(\theta \right)}$, dove $x=\theta $
Applicare la formula: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, dove $a=\csc\left(\theta \right)$, $b=1$ e $c=\cos\left(\theta \right)$
Applicare la formula: $1x$$=x$, dove $x=\csc\left(\theta \right)$
Ridurre $\sec\left(\theta \right)\csc\left(\theta \right)$ applicando le identità trigonometriche.
Applicare l'identità trigonometrica: $\csc\left(\theta \right)$$=\frac{1}{\sin\left(\theta \right)}$, dove $x=\theta $
Applicare la formula: $\frac{\frac{a}{b}}{c}$$=\frac{a}{bc}$, dove $a=1$, $b=\sin\left(\theta \right)$, $c=\cos\left(\theta \right)$, $a/b/c=\frac{\frac{1}{\sin\left(\theta \right)}}{\cos\left(\theta \right)}$ e $a/b=\frac{1}{\sin\left(\theta \right)}$
Applicare l'identità trigonometrica: $\sin\left(\theta \right)\cos\left(\theta \right)$$=\frac{\sin\left(2\theta \right)}{2}$, dove $x=\theta $
Applicare la formula: $\frac{a}{\frac{b}{c}}$$=\frac{ac}{b}$, dove $a=1$, $b=\sin\left(2\theta \right)$, $c=2$, $a/b/c=\frac{1}{\frac{\sin\left(2\theta \right)}{2}}$ e $b/c=\frac{\sin\left(2\theta \right)}{2}$
Applicare l'identità trigonometrica: $\frac{n}{\sin\left(\theta \right)}$$=n\csc\left(\theta \right)$, dove $x=2\theta $ e $n=2$
Riscrivere l'espressione trigonometrica $\frac{\csc\left(\theta \right)}{\cos\left(\theta \right)}$ all'interno dell'integrale
Applicare la formula: $\int cxdx$$=c\int xdx$, dove $c=2$ e $x=\csc\left(2\theta \right)$
Possiamo risolvere l'integrale $\int\csc\left(2\theta \right)d\theta$ applicando il metodo dell'integrazione per sostituzione (detto anche U-Substitution). Per prima cosa, dobbiamo identificare una sezione all'interno dell'integrale con una nuova variabile (chiamiamola $u$), che sostituita rende l'integrale più semplice. Vediamo che $2\theta $ è un buon candidato per la sostituzione. Definiamo la variabile $u$ e assegniamola alla parte prescelta
Differenziare entrambi i lati dell'equazione $u=2\theta $
Trovare la derivata
Applicare la formula: $\frac{d}{dx}\left(nx\right)$$=n\frac{d}{dx}\left(x\right)$, dove $x=\theta $ e $n=2$
Applicare la formula: $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$, dove $x=\theta $
Ora, per riscrivere $d\theta$ in termini di $du$, dobbiamo trovare la derivata di $u$. Dobbiamo calcolare $du$, e lo possiamo fare derivando l'equazione di cui sopra
Applicare la formula: $a=b$$\to b=a$, dove $a=du$ e $b=2\cdot d\theta$
Applicare la formula: $ax=b$$\to x=\frac{b}{a}$, dove $a=2$, $b=du$ e $x=d\theta$
Isolare $d\theta$ nell'equazione precedente
Sostituendo $u$ e $d\theta$ nell'integrale e semplificando
Applicare la formula: $\int\frac{x}{c}dx$$=\frac{1}{c}\int xdx$, dove $c=2$ e $x=\csc\left(u\right)$
Applicare la formula: $\frac{a}{b}c$$=\frac{ca}{b}$, dove $a=1$, $b=2$, $c=2$, $a/b=\frac{1}{2}$ e $ca/b=2\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\int\csc\left(u\right)du$
Applicare la formula: $\int\csc\left(\theta \right)dx$$=-\ln\left(\csc\left(\theta \right)+\cot\left(\theta \right)\right)+C$, dove $x=u$
Sostituire $u$ con il valore che gli abbiamo assegnato all'inizio: $2\theta $
Sostituire $u$ con il valore che gli abbiamo assegnato all'inizio: $2\theta $
Applicare l'identità trigonometrica: $\csc\left(nx\right)+\cot\left(nx\right)$$=\cot\left(\frac{n}{2}x\right)$, dove $x=\theta $, $nx=2\theta $ e $n=2$
Applicare la formula: $\ln\left(\frac{1}{x}\right)$$=-\ln\left(x\right)$, dove $x=\sqrt{x^2-1}$ e $1/x=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$
Applicare la formula: $\ln\left(x^a\right)$$=a\ln\left(x\right)$, dove $a=\frac{1}{2}$ e $x=x^2-1$
Esprimere la variabile $\theta$ in termini della variabile originale $x$
Applicare la formula: $1x$$=x$, dove $x=\frac{1}{2}\ln\left(x^2-1\right)$
Poiché l'integrale che stiamo risolvendo è un integrale indefinito, quando finiamo di integrare dobbiamo aggiungere la costante di integrazione $C$
