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Esercizio

$\int\left(x\cdot e^{2x}\right)dx$

Soluzione passo-passo

1

Possiamo risolvere l'integrale $\int xe^{2x}dx$ applicando il metodo dell'integrazione per parti per calcolare l'integrale del prodotto di due funzioni, utilizzando la seguente formula

$\displaystyle\int u\cdot dv=u\cdot v-\int v \cdot du$
2

Innanzitutto, individuare o scegliere $u$ e calcolarne la derivata, $du$

$\begin{matrix}\displaystyle{u=x}\\ \displaystyle{du=dx}\end{matrix}$
3

Ora, identificare $dv$ e calcolare $v$

$\begin{matrix}\displaystyle{dv=e^{2x}dx}\\ \displaystyle{\int dv=\int e^{2x}dx}\end{matrix}$
4

Risolvere l'integrale per trovare $v$

$v=\int e^{2x}dx$
5

Possiamo risolvere l'integrale $\int e^{2x}dx$ applicando il metodo dell'integrazione per sostituzione (detto anche U-Substitution). Per prima cosa, dobbiamo identificare una sezione all'interno dell'integrale con una nuova variabile (chiamiamola $u$), che sostituita rende l'integrale più semplice. Vediamo che $2x$ è un buon candidato per la sostituzione. Definiamo la variabile $u$ e assegniamola alla parte prescelta

$u=2x$
6

Ora, per riscrivere $dx$ in termini di $du$, dobbiamo trovare la derivata di $u$. Dobbiamo calcolare $du$, e lo possiamo fare derivando l'equazione di cui sopra

$du=2dx$
7

Isolare $dx$ nell'equazione precedente

$dx=\frac{du}{2}$
8

Sostituendo $u$ e $dx$ nell'integrale e semplificando

$\int\frac{e^u}{2}du$
9

Applicare la formula: $\int\frac{x}{c}dx$$=\frac{1}{c}\int xdx$, dove $c=2$ e $x=e^u$

$\frac{1}{2}\int e^udu$
10

Applicare la formula: $\int e^xdx$$=e^x+C$, dove $x=u$

$\frac{1}{2}e^u$
11

Sostituire $u$ con il valore che gli abbiamo assegnato all'inizio: $2x$

$\frac{1}{2}e^{2x}$
12

Ora sostituite i valori di $u$, $du$ e $v$ nell'ultima formula

$\frac{1}{2}e^{2x}x-\frac{1}{2}\int e^{2x}dx$
13

Possiamo risolvere l'integrale $\int e^{2x}dx$ applicando il metodo dell'integrazione per sostituzione (detto anche U-Substitution). Per prima cosa, dobbiamo identificare una sezione all'interno dell'integrale con una nuova variabile (chiamiamola $u$), che sostituita rende l'integrale più semplice. Vediamo che $2x$ è un buon candidato per la sostituzione. Definiamo la variabile $u$ e assegniamola alla parte prescelta

$u=2x$
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Ora, per riscrivere $dx$ in termini di $du$, dobbiamo trovare la derivata di $u$. Dobbiamo calcolare $du$, e lo possiamo fare derivando l'equazione di cui sopra

$du=2dx$
15

Isolare $dx$ nell'equazione precedente

$dx=\frac{du}{2}$
16

Sostituendo $u$ e $dx$ nell'integrale e semplificando

$\frac{1}{2}e^{2x}x-\frac{1}{2}\int\frac{e^u}{2}du$
17

L'integrale $-\frac{1}{2}\int\frac{e^u}{2}du$ risulta in: $-\frac{1}{4}e^{2x}$

$-\frac{1}{4}e^{2x}$
18

Raccogliere i risultati di tutti gli integrali

$\frac{1}{2}e^{2x}x-\frac{1}{4}e^{2x}$
19

Poiché l'integrale che stiamo risolvendo è un integrale indefinito, quando finiamo di integrare dobbiamo aggiungere la costante di integrazione $C$

$\frac{1}{2}e^{2x}x-\frac{1}{4}e^{2x}+C_0$

Risposta finale al problema

$\frac{1}{2}e^{2x}x-\frac{1}{4}e^{2x}+C_0$

Come posso risolvere questo problema?

  • Sostituzione di Weierstrass
  • Prodotto di binomi con termine comune
  • Metodo FOIL
  • Per saperne di più...
Non riuscite a trovare un metodo? Segnalatecelo, così potremo aggiungerlo.
Modalità simbolica
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√

◻√◻
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log◻
lim
d/dx
D□x
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∫◻
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cot
sec
csc

asin
acos
atan
acot
asec
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sinh
cosh
tanh
coth
sech
csch

asinh
acosh
atanh
acoth
asech
acsch

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