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  2. Equazione Differenziale Lineare

Calcolatrice di Equazione differenziale lineare

Risolvete i vostri problemi di matematica con la nostra calcolatrice Equazione differenziale lineare passo-passo. Migliorate le vostre abilità matematiche con il nostro ampio elenco di problemi impegnativi. Trova tutte le nostre calcolatrici qui.

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Esempio

Problemi risolti

Problemi difficili

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Qui vi mostriamo un esempio di soluzione passo-passo di equazione differenziale lineare. Questa soluzione è stata generata automaticamente dalla nostra calcolatrice intelligente:

$\frac{dy}{dx}+2y=x$
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Possiamo identificare che l'equazione differenziale ha la forma: $\frac{dy}{dx} + P(x)\cdot y(x) = Q(x)$, quindi possiamo classificarla come un'equazione differenziale lineare del primo ordine, dove $P(x)=2$ e $Q(x)=x$. Per risolvere l'equazione differenziale, il primo passo è quello di trovare il fattore integrante $\mu(x)$

$\displaystyle\mu\left(x\right)=e^{\int P(x)dx}$

Calcolare l'integrale

$\int2dx$

Applicare la formula: $\int cdx$$=cvar+C$, dove $c=2$

$2x$
3

Per trovare $\mu(x)$, dobbiamo prima calcolare $\int P(x)dx$

$\int P(x)dx=\int2dx=2x$
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Quindi il fattore di integrazione $\mu(x)$ è

$\mu(x)=e^{2x}$
5

Ora, moltiplicare tutti i termini dell'equazione differenziale per il fattore di integrazione $\mu(x)$ e verificare se è possibile semplificare

$\frac{dy}{dx}e^{2x}+2ye^{2x}=xe^{2x}$
6

Possiamo riconoscere che il lato sinistro dell'equazione differenziale consiste nella derivata del prodotto di $\mu(x)\cdot y(x)$

$\frac{d}{dx}\left(e^{2x}y\right)=xe^{2x}$
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Integrate entrambi i lati dell'equazione differenziale rispetto a $dx$

$\int\frac{d}{dx}\left(e^{2x}y\right)dx=\int xe^{2x}dx$
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Semplificare il lato sinistro dell'equazione differenziale

$e^{2x}y=\int xe^{2x}dx$

Possiamo risolvere l'integrale $\int xe^{2x}dx$ applicando il metodo dell'integrazione per parti per calcolare l'integrale del prodotto di due funzioni, utilizzando la seguente formula

$\displaystyle\int u\cdot dv=u\cdot v-\int v \cdot du$

Innanzitutto, individuare o scegliere $u$ e calcolarne la derivata, $du$

$\begin{matrix}\displaystyle{u=x}\\ \displaystyle{du=dx}\end{matrix}$

Ora, identificare $dv$ e calcolare $v$

$\begin{matrix}\displaystyle{dv=e^{2x}dx}\\ \displaystyle{\int dv=\int e^{2x}dx}\end{matrix}$

Risolvere l'integrale per trovare $v$

$v=\int e^{2x}dx$

Possiamo risolvere l'integrale $\int e^{2x}dx$ applicando il metodo dell'integrazione per sostituzione (detto anche U-Substitution). Per prima cosa, dobbiamo identificare una sezione all'interno dell'integrale con una nuova variabile (chiamiamola $u$), che sostituita rende l'integrale più semplice. Vediamo che $2x$ è un buon candidato per la sostituzione. Definiamo la variabile $u$ e assegniamola alla parte prescelta

$u=2x$

Ora, per riscrivere $dx$ in termini di $du$, dobbiamo trovare la derivata di $u$. Dobbiamo calcolare $du$, e lo possiamo fare derivando l'equazione di cui sopra

$du=2dx$

Isolare $dx$ nell'equazione precedente

$dx=\frac{du}{2}$

Sostituendo $u$ e $dx$ nell'integrale e semplificando

$\int\frac{e^u}{2}du$

Applicare la formula: $\int\frac{x}{c}dx$$=\frac{1}{c}\int xdx$, dove $c=2$ e $x=e^u$

$\frac{1}{2}\int e^udu$

Applicare la formula: $\int e^xdx$$=e^x+C$, dove $x=u$

$\frac{1}{2}e^u$

Sostituire $u$ con il valore che gli abbiamo assegnato all'inizio: $2x$

$\frac{1}{2}e^{2x}$

Ora sostituite i valori di $u$, $du$ e $v$ nell'ultima formula

$\frac{1}{2}e^{2x}x-\frac{1}{2}\int e^{2x}dx$

Possiamo risolvere l'integrale $\int e^{2x}dx$ applicando il metodo dell'integrazione per sostituzione (detto anche U-Substitution). Per prima cosa, dobbiamo identificare una sezione all'interno dell'integrale con una nuova variabile (chiamiamola $u$), che sostituita rende l'integrale più semplice. Vediamo che $2x$ è un buon candidato per la sostituzione. Definiamo la variabile $u$ e assegniamola alla parte prescelta

$u=2x$

Ora, per riscrivere $dx$ in termini di $du$, dobbiamo trovare la derivata di $u$. Dobbiamo calcolare $du$, e lo possiamo fare derivando l'equazione di cui sopra

$du=2dx$

Isolare $dx$ nell'equazione precedente

$dx=\frac{du}{2}$

Sostituendo $u$ e $dx$ nell'integrale e semplificando

$\frac{1}{2}e^{2x}x-\frac{1}{2}\int\frac{e^u}{2}du$

Applicare la formula: $\int\frac{x}{c}dx$$=\frac{1}{c}\int xdx$, dove $c=2$ e $x=e^u$

$\frac{1}{2}e^{2x}x-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\int e^udu$

Applicare la formula: $\frac{a}{b}\frac{c}{f}$$=\frac{ac}{bf}$, dove $a=-1$, $b=2$, $c=1$, $a/b=-\frac{1}{2}$, $f=2$, $c/f=\frac{1}{2}$ e $a/bc/f=-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\int e^udu$

$\frac{1}{2}e^{2x}x-\frac{1}{4}\int e^udu$

Applicare la formula: $\int e^xdx$$=e^x+C$, dove $x=u$

$\frac{1}{2}e^{2x}x-\frac{1}{4}e^u$

Sostituire $u$ con il valore che gli abbiamo assegnato all'inizio: $2x$

$\frac{1}{2}e^{2x}x-\frac{1}{4}e^{2x}$

Poiché l'integrale che stiamo risolvendo è un integrale indefinito, quando finiamo di integrare dobbiamo aggiungere la costante di integrazione $C$

$\frac{1}{2}e^{2x}x-\frac{1}{4}e^{2x}+C_0$
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Risolvere l'integrale $\int xe^{2x}dx$ e sostituire il risultato con l'equazione differenziale

$e^{2x}y=\frac{1}{2}e^{2x}x-\frac{1}{4}e^{2x}+C_0$

Applicare la formula: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, dove $a=e^{2x}x$, $b=1$ e $c=2$

$e^{2x}y=\frac{1e^{2x}x}{2}-\frac{1}{4}e^{2x}+C_0$

Applicare la formula: $1x$$=x$, dove $x=e^{2x}x$

$e^{2x}y=\frac{e^{2x}x}{2}-\frac{1}{4}e^{2x}+C_0$

Applicare la formula: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, dove $a=e^{2x}$, $b=-1$ e $c=4$

$e^{2x}y=\frac{e^{2x}x}{2}+\frac{-e^{2x}}{4}+C_0$

Applicare la formula: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, dove $a=e^{2x}x$, $b=1$ e $c=2$

$e^{2x}y=\frac{1e^{2x}x}{2}-\frac{1}{4}e^{2x}+C_0$

Applicare la formula: $1x$$=x$, dove $x=e^{2x}x$

$e^{2x}y=\frac{e^{2x}x}{2}-\frac{1}{4}e^{2x}+C_0$

Applicare la formula: $a^nx=b$$\to x=a^{-n}b$, dove $a^n=e^{2x}$, $a=e$, $b=\frac{e^{2x}x}{2}+\frac{-e^{2x}}{4}+C_0$, $x=y$, $a^nx=b=e^{2x}y=\frac{e^{2x}x}{2}+\frac{-e^{2x}}{4}+C_0$, $a^nx=e^{2x}y$ e $n=2x$

$y=e^{-2x}\left(\frac{e^{2x}x}{2}+\frac{-e^{2x}}{4}+C_0\right)$
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Trovare la soluzione esplicita dell'equazione differenziale. Dobbiamo isolare la variabile $y$

$y=e^{-2x}\left(\frac{e^{2x}x}{2}+\frac{-e^{2x}}{4}+C_0\right)$

Risposta finale al problema

$y=e^{-2x}\left(\frac{e^{2x}x}{2}+\frac{-e^{2x}}{4}+C_0\right)$

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I problemi più diffusi

I problemi più comuni risolti con questa calcolatrice:

$\frac{dy}{dx}+2y=x$ 104 viste
$\frac{dy}{dx}-y=5$ 99 viste
$\frac{dy}{dx}=e^{2x}+y-1$ 73 viste
$\frac{dy}{dx}-y=e^{3x}$ 72 viste
$\frac{dy}{dx}+2y=1$ 57 viste
$\frac{dy}{dx}+2xy=1$ 42 viste
$\frac{dy}{dx}+3y=0$ 34 viste
$y^'=x^2+5y$ 33 viste