Possiamo risolvere l'integrale $\int\frac{1}{2\sin\left(x\right)\cos\left(x\right)}dx$ applicando il metodo di sostituzione di Weierstrass (noto anche come sostituzione del semiangolo tangente) che converte un integrale di funzioni trigonometriche in una funzione razionale di $t$ impostando la sostituzione

Quindi

Sostituendo l'integrale originale si ottiene

Applicare la formula: $\int\frac{a}{bc}dx$$=\frac{1}{c}\int\frac{a}{b}dx$, dove $a=1+t^{2}$, $b=\left(1-t^{2}\right)t$ e $c=2$

Possiamo risolvere l'integrale $\int\frac{t}{1-t^{2}}dt$ applicando il metodo dell'integrazione per sostituzione (detto anche U-Substitution). Per prima cosa, dobbiamo identificare una sezione all'interno dell'integrale con una nuova variabile (chiamiamola $u$), che sostituita rende l'integrale più semplice. Vediamo che $1-t^{2}$ è un buon candidato per la sostituzione. Definiamo la variabile $u$ e assegniamola alla parte prescelta

Isolare $dt$ nell'equazione precedente

Raccogliere i risultati di tutti gli integrali

Sostituire $t$ con il valore che gli abbiamo assegnato all'inizio: $\tan\left(\frac{x}{2}\right)$

Poiché l'integrale che stiamo risolvendo è un integrale indefinito, quando finiamo di integrare dobbiamo aggiungere la costante di integrazione $C$