Risposta finale al problema
$\left(58x^{4}-30+24x^{3}\right)\left(2x+1\right)^{4}\left(x^4-3\right)^{5}$
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Soluzione passo-passo
1
Applicare la formula: $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=y=x$, dove $d/dx=\frac{d}{dx}$, $d/dx?x=\frac{d}{dx}\left(\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6\right)$ e $x=\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6$
$y=\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6$
2
Applicare la formula: $y=x$$\to \ln\left(y\right)=\ln\left(x\right)$, dove $x=\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6$
$\ln\left(y\right)=\ln\left(\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6\right)$
Passi intermedi
Applicare la formula: $y=x$$\to y=x$, dove $x=\ln\left(\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6\right)$ e $y=\ln\left(y\right)$
$\ln\left(y\right)=\ln\left(\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6\right)$
Applicare la formula: $\ln\left(ab\right)$$=\ln\left(a\right)+\ln\left(b\right)$, dove $a=\left(2x+1\right)^5$ e $b=\left(x^4-3\right)^6$
$\ln\left(y\right)=\ln\left(\left(2x+1\right)^5\right)+\ln\left(\left(x^4-3\right)^6\right)$
Applicare la formula: $\ln\left(x^a\right)$$=a\ln\left(x\right)$, dove $a=5$ e $x=2x+1$
$\ln\left(y\right)=5\ln\left(2x+1\right)+\ln\left(\left(x^4-3\right)^6\right)$
Applicare la formula: $\ln\left(x^a\right)$$=a\ln\left(x\right)$, dove $a=6$ e $x=x^4-3$
$\ln\left(y\right)=5\ln\left(2x+1\right)+6\ln\left(x^4-3\right)$
3
Applicare la formula: $y=x$$\to y=x$, dove $x=\ln\left(\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6\right)$ e $y=\ln\left(y\right)$
$\ln\left(y\right)=5\ln\left(2x+1\right)+6\ln\left(x^4-3\right)$
Spiegate meglio questo passaggio
4
Applicare la formula: $\ln\left(y\right)=x$$\to \frac{d}{dx}\left(\ln\left(y\right)\right)=\frac{d}{dx}\left(x\right)$, dove $x=5\ln\left(2x+1\right)+6\ln\left(x^4-3\right)$
$\frac{d}{dx}\left(\ln\left(y\right)\right)=\frac{d}{dx}\left(5\ln\left(2x+1\right)+6\ln\left(x^4-3\right)\right)$
5
Applicare la formula: $\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x\right)\right)$$=\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\left(x\right)$
$\frac{1}{y}\frac{d}{dx}\left(y\right)=\frac{d}{dx}\left(5\ln\left(2x+1\right)+6\ln\left(x^4-3\right)\right)$
6
Applicare la formula: $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{d}{dx}\left(5\ln\left(2x+1\right)+6\ln\left(x^4-3\right)\right)$
7
La derivata di una somma di due o più funzioni è la somma delle derivate di ciascuna funzione.
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{d}{dx}\left(5\ln\left(2x+1\right)\right)+\frac{d}{dx}\left(6\ln\left(x^4-3\right)\right)$
Passi intermedi
Applicare la formula: $\frac{d}{dx}\left(cx\right)$$=c\frac{d}{dx}\left(x\right)$, dove $c=6$ e $x=\ln\left(x^4-3\right)$
$\frac{y^{\prime}}{y}=5\frac{d}{dx}\left(\ln\left(2x+1\right)\right)+6\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x^4-3\right)\right)$
8
Applicare la formula: $\frac{d}{dx}\left(cx\right)$$=c\frac{d}{dx}\left(x\right)$
$\frac{y^{\prime}}{y}=5\frac{d}{dx}\left(\ln\left(2x+1\right)\right)+6\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x^4-3\right)\right)$
Spiegate meglio questo passaggio
Passi intermedi
Applicare la formula: $\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x\right)\right)$$=\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\left(x\right)$, dove $x=x^4-3$
$\frac{y^{\prime}}{y}=5\left(\frac{1}{2x+1}\right)\frac{d}{dx}\left(2x+1\right)+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4-3\right)$
9
Applicare la formula: $\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x\right)\right)$$=\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\left(x\right)$
$\frac{y^{\prime}}{y}=5\left(\frac{1}{2x+1}\right)\frac{d}{dx}\left(2x+1\right)+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4-3\right)$
Spiegate meglio questo passaggio
Passi intermedi
Applicare la formula: $\frac{d}{dx}\left(c\right)$$=0$, dove $c=1$
$\frac{y^{\prime}}{y}=5\left(\frac{1}{2x+1}\right)\frac{d}{dx}\left(2x\right)+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4-3\right)$
10
La derivata di una somma di due o più funzioni è la somma delle derivate di ciascuna funzione.
$\frac{y^{\prime}}{y}=5\left(\frac{1}{2x+1}\right)\frac{d}{dx}\left(2x\right)+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4-3\right)$
Spiegate meglio questo passaggio
Passi intermedi
Applicare la formula: $\frac{d}{dx}\left(c\right)$$=0$, dove $c=-3$
$\frac{y^{\prime}}{y}=5\left(\frac{1}{2x+1}\right)\frac{d}{dx}\left(2x\right)+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4\right)$
11
La derivata di una somma di due o più funzioni è la somma delle derivate di ciascuna funzione.
$\frac{y^{\prime}}{y}=5\left(\frac{1}{2x+1}\right)\frac{d}{dx}\left(2x\right)+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4\right)$
Spiegate meglio questo passaggio
Passi intermedi
Applicare la formula: $\frac{d}{dx}\left(cx\right)$$=c\frac{d}{dx}\left(x\right)$
$10\left(\frac{1}{2x+1}\right)\frac{d}{dx}\left(x\right)$
Applicare la formula: $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$
$10\left(\frac{1}{2x+1}\right)$
12
Applicare la formula: $\frac{d}{dx}\left(nx\right)$$=n\frac{d}{dx}\left(x\right)$, dove $n=2$
$\frac{y^{\prime}}{y}=10\left(\frac{1}{2x+1}\right)\frac{d}{dx}\left(x\right)+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4\right)$
Spiegate meglio questo passaggio
13
Applicare la formula: $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$
$\frac{y^{\prime}}{y}=10\left(\frac{1}{2x+1}\right)+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4\right)$
Passi intermedi
Applicare la formula: $a\frac{b}{x}$$=\frac{ab}{x}$
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{10\cdot 1}{2x+1}+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4\right)$
Applicare la formula: $1x$$=x$, dove $x=10$
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{10}{2x+1}+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4\right)$
14
Applicare la formula: $a\frac{b}{x}$$=\frac{ab}{x}$
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{10}{2x+1}+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4\right)$
Spiegate meglio questo passaggio
Passi intermedi
Applicare la formula: $\frac{d}{dx}\left(x^a\right)$$=ax^{\left(a-1\right)}$, dove $a=4$
$24\left(\frac{1}{x^4-3}\right)x^{\left(4-1\right)}$
Applicare la formula: $a+b$$=a+b$, dove $a=4$, $b=-1$ e $a+b=4-1$
$24\left(\frac{1}{x^4-3}\right)x^{3}$
15
Applicare la formula: $\frac{d}{dx}\left(x^a\right)$$=ax^{\left(a-1\right)}$, dove $a=4$
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{10}{2x+1}+6\cdot 4\left(\frac{1}{x^4-3}\right)x^{3}$
Spiegate meglio questo passaggio
16
Applicare la formula: $ab$$=ab$, dove $ab=6\cdot 4\left(\frac{1}{x^4-3}\right)x^{3}$, $a=6$ e $b=4$
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{10}{2x+1}+24\left(\frac{1}{x^4-3}\right)x^{3}$
Passi intermedi
Applicare la formula: $a\frac{b}{x}$$=\frac{ab}{x}$
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{10}{2x+1}+\frac{24\cdot 1x^{3}}{x^4-3}$
Applicare la formula: $a\frac{b}{x}$$=\frac{ab}{x}$
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{10\cdot 1}{2x+1}+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4\right)$
Applicare la formula: $1x$$=x$, dove $x=10$
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{10}{2x+1}+6\left(\frac{1}{x^4-3}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4\right)$
Applicare la formula: $1x$$=x$, dove $x=24x^{3}$
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{10}{2x+1}+\frac{24x^{3}}{x^4-3}$
17
Applicare la formula: $a\frac{b}{x}$$=\frac{ab}{x}$
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{10}{2x+1}+\frac{24x^{3}}{x^4-3}$
Spiegate meglio questo passaggio
18
Applicare la formula: $\frac{a}{b}=c$$\to a=cb$, dove $a=y^{\prime}$, $b=y$ e $c=\frac{10}{2x+1}+\frac{24x^{3}}{x^4-3}$
$y^{\prime}=\left(\frac{10}{2x+1}+\frac{24x^{3}}{x^4-3}\right)y$
19
Sostituire $y$ con la funzione originale: $\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6$
$y^{\prime}=\left(\frac{10}{2x+1}+\frac{24x^{3}}{x^4-3}\right)\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6$
20
La derivata della funzione risulta
$\left(\frac{10}{2x+1}+\frac{24x^{3}}{x^4-3}\right)\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6$
Passi intermedi
Il minimo comune multiplo (LCM) di una somma di frazioni algebriche consiste nel prodotto dei fattori comuni con l'esponente maggiore e dei fattori non comuni.
$L.C.M..=\left(2x+1\right)\left(x^4-3\right)$
Ottenuto il minimo comune multiplo (LCM), lo poniamo come denominatore di ogni frazione, e al numeratore di ogni frazione aggiungiamo i fattori che ci servono per completare
$\frac{10\left(x^4-3\right)}{\left(2x+1\right)\left(x^4-3\right)}+\frac{24x^{3}\left(2x+1\right)}{\left(2x+1\right)\left(x^4-3\right)}$
Semplificare i numeratori
$\frac{10x^4-30}{\left(2x+1\right)\left(x^4-3\right)}+\frac{48x^{3}x+24x^{3}}{\left(2x+1\right)\left(x^4-3\right)}$
Combinare e semplificare tutti i termini di una stessa frazione con denominatore comune. $\left(2x+1\right)\left(x^4-3\right)$
$\frac{58x^{4}-30+24x^{3}}{\left(2x+1\right)\left(x^4-3\right)}\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6$
Applicare la formula: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, dove $a=\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6$, $b=58x^{4}-30+24x^{3}$ e $c=\left(2x+1\right)\left(x^4-3\right)$
$\frac{\left(58x^{4}-30+24x^{3}\right)\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6}{\left(2x+1\right)\left(x^4-3\right)}$
Applicare la formula: $\frac{a^n}{a}$$=a^{\left(n-1\right)}$, dove $a^n/a=\frac{\left(58x^{4}-30+24x^{3}\right)\left(2x+1\right)^5\left(x^4-3\right)^6}{\left(2x+1\right)\left(x^4-3\right)}$, $a^n=\left(2x+1\right)^5$, $a=2x+1$ e $n=5$
$\frac{\left(58x^{4}-30+24x^{3}\right)\left(2x+1\right)^{4}\left(x^4-3\right)^6}{x^4-3}$
Applicare la formula: $\frac{a^n}{a}$$=a^{\left(n-1\right)}$, dove $a^n/a=\frac{\left(58x^{4}-30+24x^{3}\right)\left(2x+1\right)^{4}\left(x^4-3\right)^6}{x^4-3}$, $a^n=\left(x^4-3\right)^6$, $a=x^4-3$ e $n=6$
$\left(58x^{4}-30+24x^{3}\right)\left(2x+1\right)^{4}\left(x^4-3\right)^{5}$
21
Semplificare la derivata
$\left(58x^{4}-30+24x^{3}\right)\left(2x+1\right)^{4}\left(x^4-3\right)^{5}$
Spiegate meglio questo passaggio
Risposta finale al problema $\left(58x^{4}-30+24x^{3}\right)\left(2x+1\right)^{4}\left(x^4-3\right)^{5}$
