Argomenti

more_from_snapxam

Esercizio

$\int\frac{x^2}{\sqrt{x^2+6}}dx$

Soluzione passo-passo

1

Possiamo risolvere l'integrale $\int\frac{x^2}{\sqrt{x^2+6}}dx$ applicando il metodo di integrazione della sostituzione trigonometrica utilizzando la sostituzione

$x=\sqrt{6}\tan\left(\theta \right)$
2

Ora, per riscrivere $d\theta$ in termini di $dx$, dobbiamo trovare la derivata di $x$. Dobbiamo calcolare $dx$, e lo possiamo fare derivando l'equazione di cui sopra

$dx=\sqrt{6}\sec\left(\theta \right)^2d\theta$
3

Sostituendo l'integrale originale, si ottiene

$\int\frac{6\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\sec\left(\theta \right)}d\theta$
4

Semplificare

$\int6\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta$
5

Applicare la formula: $\int cxdx$$=c\int xdx$, dove $c=6$ e $x=\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)$

$6\int\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta$
6

Individuiamo che l'integrale ha la forma $\int\tan^m(x)\sec^n(x)dx$. Se $n$ è dispari e $m$ è pari, allora dobbiamo esprimere tutto in termini di secante, espandere e integrare ogni funzione separatamente

$6\int\left(\sec\left(\theta \right)^2-1\right)\sec\left(\theta \right)d\theta$
7

Moltiplicare il termine singolo $\sec\left(\theta \right)$ per ciascun termine del polinomio $\left(\sec\left(\theta \right)^2-1\right)$

$6\int\left(\sec\left(\theta \right)^{3}-\sec\left(\theta \right)\right)d\theta$
8

Espandere l'integrale $\int\left(\sec\left(\theta \right)^{3}-\sec\left(\theta \right)\right)d\theta$ in $2$ integrali utilizzando la regola della somma degli integrali, per poi risolvere ogni integrale separatamente

$6\int\sec\left(\theta \right)^{3}d\theta-6\int\sec\left(\theta \right)d\theta$
9

L'integrale $6\int\sec\left(\theta \right)^{3}d\theta$ risulta in: $\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}+3\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right)$

$\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}+3\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right)$
10

Raccogliere i risultati di tutti gli integrali

$3\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right|+\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}-6\int\sec\left(\theta \right)d\theta$
11

L'integrale $-6\int\sec\left(\theta \right)d\theta$ risulta in: $-6\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right)$

$-6\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right)$
12

Raccogliere i risultati di tutti gli integrali

$3\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right|+\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}-6\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right|$
13

Combinazione di termini simili $3\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right)$ e $-6\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right)$

$-3\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right|+\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}$
14

Poiché l'integrale che stiamo risolvendo è un integrale indefinito, quando finiamo di integrare dobbiamo aggiungere la costante di integrazione $C$

$-3\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right|+\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}+C_0$
15

Applicare la formula: $b\ln\left(\frac{x}{a}\right)+c$$=b\ln\left(x\right)+cteint$, dove $a=\sqrt{6}$, $b=-3$, $c=C_0$ e $x=\sqrt{x^2+6}+x$

$-3\ln\left|\sqrt{x^2+6}+x\right|+\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}+C_1$

Risposta finale al problema

$-3\ln\left|\sqrt{x^2+6}+x\right|+\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}+C_1$

Come posso risolvere questo problema?

  • Scegliere un'opzione
  • Sostituzione di Weierstrass
  • Prodotto di binomi con termine comune
  • Per saperne di più...
Non riuscite a trovare un metodo? Segnalatecelo, così potremo aggiungerlo.
Modalità simbolica
Modalità testo
Go!
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
a
b
c
d
f
g
m
n
u
v
w
x
y
z
.
(◻)
+
-
×
◻/◻
/
÷
◻2
◻◻
√◻
√

◻√◻
◻√
∞
e
π
ln
log
log◻
lim
d/dx
D□x
∫
∫◻
|◻|
θ
=
>
<
>=
<=
sin
cos
tan
cot
sec
csc

asin
acos
atan
acot
asec
acsc

sinh
cosh
tanh
coth
sech
csch

asinh
acosh
atanh
acoth
asech
acsch

Potenziate lapprendimento della matematica

Iscrivendosi, lutente accetta le condizioni di SnapXam Termini e Informativa sulla privacy.

Avete già un account? Accedi qui
Avete dimenticato la password?

Potenziate lapprendimento della matematica



Registratevi qui se non avete un account.
Avete dimenticato la password?

Il tuo tutor personale di matematica. Potenziato dallintelligenza artificiale

Disponibile 24 ore su 24, 7 giorni su 7, 365 giorni.

Soluzioni matematiche complete passo dopo passo. Senza pubblicità.

Include diversi metodi di risoluzione.

Scaricate le soluzioni in formato PDF e conservatele per sempre.

Esercitazioni illimitate con la nostra la lavagna AI.

Accesso premium sulle nostre app per iOS e Android.

Unisciti a più di 500.000 studenti nella risoluzione dei problemi.

Scegliete il vostro piano. Annullamento in qualsiasi momento.
Pagate $39,97 USD in modo sicuro con il vostro metodo di pagamento.
Si prega di attendere mentre il pagamento viene elaborato.
Creare un account