$\frac{dy}{dx}=\frac{2x}{3y^2}$

Soluzione passo-passo

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Risposta finale al problema

$y=\sqrt[3]{x^2+C_0}$
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Soluzione passo-passo

Come posso risolvere questo problema?

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  • Equazione differenziale separabile
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Raggruppare i termini dell'equazione differenziale. Spostate i termini della variabile $y$ sul lato sinistro e i termini della variabile $x$ sul lato destro dell'uguaglianza.

$3y^2dy=2xdx$
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Applicare la formula: $b\cdot dy=a\cdot dx$$\to \int bdy=\int adx$, dove $a=2x$, $b=3y^2$, $dyb=dxa=3y^2dy=2xdx$, $dyb=3y^2dy$ e $dxa=2xdx$

$\int3y^2dy=\int2xdx$

Applicare la formula: $\int cxdx$$=c\int xdx$, dove $c=3$ e $x=y^2$

$3\int y^2dy$

Applicare la formula: $\int x^ndx$$=\frac{x^{\left(n+1\right)}}{n+1}+C$, dove $x=y$ e $n=2$

$3\left(\frac{y^{3}}{3}\right)$

Applicare la formula: $a\frac{x}{b}$$=\frac{a}{b}x$, dove $a=3$, $b=3$, $ax/b=3\left(\frac{y^{3}}{3}\right)$, $x=y^{3}$ e $x/b=\frac{y^{3}}{3}$

$y^{3}$
3

Risolvere l'integrale $\int3y^2dy$ e sostituire il risultato con l'equazione differenziale

$y^{3}=\int2xdx$

Applicare la formula: $\int cxdx$$=c\int xdx$, dove $c=2$

$2\int xdx$

Applicare la formula: $\int xdx$$=\frac{1}{2}x^2+C$

$2\cdot \left(\frac{1}{2}\right)x^2$

Applicare la formula: $\frac{a}{b}c$$=\frac{ca}{b}$, dove $a=1$, $b=2$, $c=2$, $a/b=\frac{1}{2}$ e $ca/b=2\cdot \left(\frac{1}{2}\right)x^2$

$x^2$

Poiché l'integrale che stiamo risolvendo è un integrale indefinito, quando finiamo di integrare dobbiamo aggiungere la costante di integrazione $C$

$x^2+C_0$
4

Risolvere l'integrale $\int2xdx$ e sostituire il risultato con l'equazione differenziale

$y^{3}=x^2+C_0$

Applicare la formula: $x^a=b$$\to \left(x^a\right)^{inverse\left(a\right)}=b^{inverse\left(a\right)}$, dove $a=3$, $b=x^2+C_0$, $x^a=b=y^{3}=x^2+C_0$, $x=y$ e $x^a=y^{3}$

$\sqrt[3]{y^{3}}=\sqrt[3]{x^2+C_0}$

Applicare la formula: $\left(x^a\right)^b$$=x$, dove $a=3$, $b=1$, $x^a^b=\sqrt[3]{y^{3}}$, $x=y$ e $x^a=y^{3}$

$y=\sqrt[3]{x^2+C_0}$
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Trovare la soluzione esplicita dell'equazione differenziale. Dobbiamo isolare la variabile $y$

$y=\sqrt[3]{x^2+C_0}$

Risposta finale al problema

$y=\sqrt[3]{x^2+C_0}$

Esplorare diversi modi per risolvere il problema

Risolvere un problema matematico utilizzando metodi diversi è importante perché migliora la comprensione, incoraggia il pensiero critico, permette di trovare più soluzioni e sviluppa strategie di risoluzione dei problemi. Per saperne di più

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Traccia della funzione

Tracciatura: $\frac{dy}{dx}+\frac{-2x}{3y^2}$

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