Esercizio
$\frac{dy}{dx}=\left(\frac{3y-x}{3x-y}\right)$
Soluzione passo-passo
Impara online a risolvere i problemi di prodotti speciali passo dopo passo. dy/dx=(3y-x)/(3x-y). Possiamo individuare che l'equazione differenziale \frac{dy}{dx}=\frac{3y-x}{3x-y} è omogenea, poiché è scritta nella forma standard \frac{dy}{dx}=\frac{M(x,y)}{N(x,y)}, dove M(x,y) e N(x,y) sono le derivate parziali di una funzione a due variabili f(x,y) ed entrambe sono funzioni omogenee dello stesso grado. Utilizzare la sostituzione: y=ux. Espandere e semplificare. Applicare la formula: b\cdot dy=a\cdot dx\to \int bdy=\int adx, dove a=\frac{1}{x}, b=\frac{3-u}{\left(1+u\right)\left(-1+u\right)}, dy=du, dyb=dxa=\frac{3-u}{\left(1+u\right)\left(-1+u\right)}du=\frac{1}{x}dx, dyb=\frac{3-u}{\left(1+u\right)\left(-1+u\right)}du e dxa=\frac{1}{x}dx.
Risposta finale al problema
$-\frac{3}{2}\ln\left(\frac{y}{x}+1\right)+\frac{3}{2}\ln\left(\frac{y}{x}-1\right)-\frac{1}{2}\ln\left(\left(\frac{y}{x}\right)^2-1\right)=\ln\left(x\right)+C_0$