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Esercizio

$\frac{dy}{dx}=24+18x+28y+21xy$

Soluzione passo-passo

1

Riorganizzare l'equazione differenziale

$\frac{dy}{dx}-\left(28y+18x+21xy\right)=24$
2

Semplificare

$\frac{dy}{dx}-28y-18x-21xy=24$
3

Possiamo identificare che l'equazione differenziale ha la forma: $\frac{dy}{dx} + P(x)\cdot y(x) = Q(x)$, quindi possiamo classificarla come un'equazione differenziale lineare del primo ordine, dove $P(x)=-28$ e $Q(x)=24$. Per risolvere l'equazione differenziale, il primo passo è quello di trovare il fattore integrante $\mu(x)$

$\displaystyle\mu\left(x\right)=e^{\int P(x)dx}$
4

Per trovare $\mu(x)$, dobbiamo prima calcolare $\int P(x)dx$

$\int P(x)dx=\int-28dx=-28x$
5

Quindi il fattore di integrazione $\mu(x)$ è

$\mu(x)=e^{-28x}$
6

Ora, moltiplicare tutti i termini dell'equazione differenziale per il fattore di integrazione $\mu(x)$ e verificare se è possibile semplificare

$\frac{dy}{dx}e^{-28x}-28ye^{-28x}-18x-21xy=24e^{-28x}$
7

Possiamo riconoscere che il lato sinistro dell'equazione differenziale consiste nella derivata del prodotto di $\mu(x)\cdot y(x)$

$\frac{d}{dx}\left(e^{-28x}y\right)=24e^{-28x}$
8

Integrate entrambi i lati dell'equazione differenziale rispetto a $dx$

$\int\frac{d}{dx}\left(e^{-28x}y\right)dx=\int24e^{-28x}dx$
9

Semplificare il lato sinistro dell'equazione differenziale

$e^{-28x}y=\int24e^{-28x}dx$
10

Risolvere l'integrale $\int24e^{-28x}dx$ e sostituire il risultato con l'equazione differenziale

$e^{-28x}y=\frac{-6}{7e^{28x}}+C_0$
11

Applicare la formula: $x^a$$=\frac{1}{x^{\left|a\right|}}$

$\frac{1}{e^{28x}}y=\frac{-6}{7e^{28x}}+C_0$
12

Applicare la formula: $a\frac{b}{x}$$=\frac{ab}{x}$

$\frac{y}{e^{28x}}=\frac{-6}{7e^{28x}}+C_0$
13

Trovare la soluzione esplicita dell'equazione differenziale. Dobbiamo isolare la variabile $y$

$y=\left(\frac{-6}{7e^{28x}}+C_0\right)e^{28x}$

Risposta finale al problema

$y=\left(\frac{-6}{7e^{28x}}+C_0\right)e^{28x}$

Come posso risolvere questo problema?

  • Scegliere un'opzione
  • Equazione differenziale esatta
  • Equazione differenziale lineare
  • Equazioni differenziali separabili
  • Equazione differenziale omogenea
  • Prodotto di binomi con termine comune
  • Metodo FOIL
  • Per saperne di più...
Non riuscite a trovare un metodo? Segnalatecelo, così potremo aggiungerlo.

Altri esercizi risolti

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$tan^2x+4=sec^2x+3$
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√◻
√

◻√◻
◻√
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ln
log
log◻
lim
d/dx
D□x
∫
∫◻
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θ
=
>
<
>=
<=
sin
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tan
cot
sec
csc

asin
acos
atan
acot
asec
acsc

sinh
cosh
tanh
coth
sech
csch

asinh
acosh
atanh
acoth
asech
acsch

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