Possiamo risolvere l'integrale $\int\frac{1}{\left(5x-1\right)\ln\left(5x-1\right)}dx$ applicando il metodo dell'integrazione per sostituzione (detto anche U-Substitution). Per prima cosa, dobbiamo identificare una sezione all'interno dell'integrale con una nuova variabile (chiamiamola $u$), che sostituita rende l'integrale più semplice. Vediamo che $5x-1$ è un buon candidato per la sostituzione. Definiamo la variabile $u$ e assegniamola alla parte prescelta
Ora, per riscrivere $dx$ in termini di $du$, dobbiamo trovare la derivata di $u$. Dobbiamo calcolare $du$, e lo possiamo fare derivando l'equazione di cui sopra
Isolare $dx$ nell'equazione precedente
Sostituendo $u$ e $dx$ nell'integrale e semplificando
Possiamo risolvere l'integrale $\int\frac{1}{u\ln\left(u\right)}du$ applicando il metodo dell'integrazione per sostituzione (detto anche U-Substitution). Per prima cosa, dobbiamo identificare una sezione all'interno dell'integrale con una nuova variabile (chiamiamola $v$), che sostituita rende l'integrale più semplice. Vediamo che $\ln\left(u\right)$ è un buon candidato per la sostituzione. Definiamo la variabile $v$ e assegniamola alla parte prescelta
Ora, per riscrivere $du$ in termini di $dv$, dobbiamo trovare la derivata di $v$. Dobbiamo calcolare $dv$, e lo possiamo fare derivando l'equazione di cui sopra
Isolare $du$ nell'equazione precedente
Sostituendo $v$ e $du$ nell'integrale e semplificando
Applicare la formula: $\int\frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, dove $x=v$ e $n=1$
Sostituire $v$ con il valore che gli abbiamo assegnato all'inizio: $\ln\left(u\right)$
Sostituire $u$ con il valore che gli abbiamo assegnato all'inizio: $5x-1$
Poiché l'integrale che stiamo risolvendo è un integrale indefinito, quando finiamo di integrare dobbiamo aggiungere la costante di integrazione $C$
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