Semplificare $\frac{1}{\left(\sin\left(x\right)+\cos\left(x\right)\right)^2}$ in $\frac{\csc\left(x+45\right)^2}{2}$ applicando le identità trigonometriche.
Applicare la formula: $\int\frac{x}{c}dx$$=\frac{1}{c}\int xdx$, dove $c=2$ e $x=\csc\left(x+45\right)^2$
Possiamo risolvere l'integrale $\int\csc\left(x+45\right)^2dx$ applicando il metodo dell'integrazione per sostituzione (detto anche U-Substitution). Per prima cosa, dobbiamo identificare una sezione all'interno dell'integrale con una nuova variabile (chiamiamola $u$), che sostituita rende l'integrale più semplice. Vediamo che $x+45$ è un buon candidato per la sostituzione. Definiamo la variabile $u$ e assegniamola alla parte prescelta
Ora, per riscrivere $dx$ in termini di $du$, dobbiamo trovare la derivata di $u$. Dobbiamo calcolare $du$, e lo possiamo fare derivando l'equazione di cui sopra
Sostituendo $u$ e $dx$ nell'integrale e semplificando
Applicare la formula: $\int\csc\left(\theta \right)^2dx$$=-\cot\left(\theta \right)+C$, dove $x=u$
Applicare la formula: $\frac{a}{b}c$$=\frac{ca}{b}$, dove $a=1$, $b=2$, $c=-1$, $a/b=\frac{1}{2}$ e $ca/b=-\left(\frac{1}{2}\right)\cot\left(u\right)$
Sostituire $u$ con il valore che gli abbiamo assegnato all'inizio: $x+45$
Poiché l'integrale che stiamo risolvendo è un integrale indefinito, quando finiamo di integrare dobbiamo aggiungere la costante di integrazione $C$
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