Applicare la formula: $x\left(a+b\right)$$=xa+xb$, dove $a=1$, $b=x^2$, $x=5$ e $a+b=1+x^2$

Applicare la formula: $\int\frac{a}{bc}dx$$=\frac{1}{c}\int\frac{a}{b}dx$, dove $a=1$, $b=\left(x-\frac{1}{5}\right)^2+\frac{24}{25}$ e $c=5$

Possiamo risolvere l'integrale $\int\frac{1}{\left(x-\frac{1}{5}\right)^2+\frac{24}{25}}dx$ applicando il metodo dell'integrazione per sostituzione (detto anche U-Substitution). Per prima cosa, dobbiamo identificare una sezione all'interno dell'integrale con una nuova variabile (chiamiamola $u$), che sostituita rende l'integrale più semplice. Vediamo che $x-\frac{1}{5}$ è un buon candidato per la sostituzione. Definiamo la variabile $u$ e assegniamola alla parte prescelta

Sostituendo $u$ e $dx$ nell'integrale e semplificando

Applicare la formula: $\int\frac{1}{a+b^2}dx$$=\frac{1}{a}\int\frac{1}{1+\frac{b^2}{a}}dx$, dove $a=\frac{24}{25}$ e $b=u$

Isolare $du$ nell'equazione precedente

Applicare la formula: $\int\frac{n}{x^2+b}dx$$=\frac{n}{\sqrt{b}}\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{b}}\right)+C$, dove $b=1$, $x=v$ e $n=1$

Applicare la formula: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, dove $a=\arctan\left(v\right)$, $b=\sqrt{24}$ e $c=24$

Applicare la formula: $x\left(\frac{a}{x}+b\right)$$=a+bx$, dove $a=-1$, $b=x$ e $x=5$

Poiché l'integrale che stiamo risolvendo è un integrale indefinito, quando finiamo di integrare dobbiamo aggiungere la costante di integrazione $C$