Applicare la formula: $x\left(a+b\right)$$=xa+xb$, dove $a=1$, $b=x^2$, $x=5$ e $a+b=1+x^2$
Riscrivere l'espressione $\frac{1}{-2x+5+5x^2}$ all'interno dell'integrale in forma fattorizzata
Applicare la formula: $\int\frac{a}{bc}dx$$=\frac{1}{c}\int\frac{a}{b}dx$, dove $a=1$, $b=\left(x-\frac{1}{5}\right)^2+\frac{24}{25}$ e $c=5$
Possiamo risolvere l'integrale $\int\frac{1}{\left(x-\frac{1}{5}\right)^2+\frac{24}{25}}dx$ applicando il metodo dell'integrazione per sostituzione (detto anche U-Substitution). Per prima cosa, dobbiamo identificare una sezione all'interno dell'integrale con una nuova variabile (chiamiamola $u$), che sostituita rende l'integrale più semplice. Vediamo che $x-\frac{1}{5}$ è un buon candidato per la sostituzione. Definiamo la variabile $u$ e assegniamola alla parte prescelta
Ora, per riscrivere $dx$ in termini di $du$, dobbiamo trovare la derivata di $u$. Dobbiamo calcolare $du$, e lo possiamo fare derivando l'equazione di cui sopra
Sostituendo $u$ e $dx$ nell'integrale e semplificando
Applicare la formula: $\int\frac{1}{a+b^2}dx$$=\frac{1}{a}\int\frac{1}{1+\frac{b^2}{a}}dx$, dove $a=\frac{24}{25}$ e $b=u$
Semplificare l'espressione
Risolvere l'integrale applicando la sostituzione $v^2=\frac{25u^2}{24}$. Quindi, prendere la radice quadrata di entrambi i lati, semplificando si ha
Ora, per riscrivere $du$ in termini di $dv$, dobbiamo trovare la derivata di $v$. Dobbiamo calcolare $dv$, e lo possiamo fare derivando l'equazione di cui sopra
Isolare $du$ nell'equazione precedente
Dopo aver sostituito tutto e semplificato, l'integrale dà come risultato
Applicare la formula: $\int\frac{n}{x^2+b}dx$$=\frac{n}{\sqrt{b}}\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{b}}\right)+C$, dove $b=1$, $x=v$ e $n=1$
Applicare la formula: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, dove $a=\arctan\left(v\right)$, $b=\sqrt{24}$ e $c=24$
Sostituire $v$ con il valore che gli abbiamo assegnato all'inizio: $\frac{5u}{\sqrt{24}}$
Sostituire $u$ con il valore che gli abbiamo assegnato all'inizio: $x-\frac{1}{5}$
Applicare la formula: $x\left(\frac{a}{x}+b\right)$$=a+bx$, dove $a=-1$, $b=x$ e $x=5$
Poiché l'integrale che stiamo risolvendo è un integrale indefinito, quando finiamo di integrare dobbiamo aggiungere la costante di integrazione $C$
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