Riscrivere l'espressione $\frac{5-x}{2x^2+x-1}$ all'interno dell'integrale in forma fattorizzata
Applicare la formula: $\int\frac{a}{bc}dx$$=\frac{1}{c}\int\frac{a}{b}dx$, dove $a=5-x$, $b=\left(x+\frac{1}{4}\right)^2-\frac{9}{16}$ e $c=2$
Possiamo risolvere l'integrale $\int\frac{5-x}{\left(x+\frac{1}{4}\right)^2-\frac{9}{16}}dx$ applicando il metodo dell'integrazione per sostituzione (detto anche U-Substitution). Per prima cosa, dobbiamo identificare una sezione all'interno dell'integrale con una nuova variabile (chiamiamola $u$), che sostituita rende l'integrale più semplice. Vediamo che $x+\frac{1}{4}$ è un buon candidato per la sostituzione. Definiamo la variabile $u$ e assegniamola alla parte prescelta
Ora, per riscrivere $dx$ in termini di $du$, dobbiamo trovare la derivata di $u$. Dobbiamo calcolare $du$, e lo possiamo fare derivando l'equazione di cui sopra
Riscrivere $x$ in termini di $u$
Sostituendo $u$, $dx$ e $x$ nell'integrale e semplificando
Espandere la frazione $\frac{\frac{21}{4}-u}{u^2-\frac{9}{16}}$ in $2$ frazioni più semplici con denominatore comune. $u^2-\frac{9}{16}$
Semplificare l'espressione
L'integrale $\frac{1}{2}\int\frac{\frac{21}{4}}{u^2-\frac{9}{16}}du$ risulta in: $-\frac{7}{4}\ln\left(\frac{4\left(x+\frac{1}{4}\right)+3}{4x-2}\right)$
L'integrale $-\frac{1}{2}\int\frac{u}{u^2-\frac{9}{16}}du$ risulta in: $-\frac{1}{4}\ln\left(\left(x+\frac{1}{4}\right)^2-\frac{9}{16}\right)$
Raccogliere i risultati di tutti gli integrali
Poiché l'integrale che stiamo risolvendo è un integrale indefinito, quando finiamo di integrare dobbiamo aggiungere la costante di integrazione $C$
Come posso risolvere questo problema?
Scoprite le soluzioni passo-passo.
Guadagnate crediti di soluzione, che potete riscattare per ottenere soluzioni complete passo-passo.
Salvate i vostri problemi preferiti.
Diventa premium e accedi a soluzioni illimitate, download, sconti e altro ancora!
