Possiamo risolvere l'integrale $\int\left(x-7\right)^{11}\left(x+3\right)dx$ applicando il metodo dell'integrazione per sostituzione (detto anche U-Substitution). Per prima cosa, dobbiamo identificare una sezione all'interno dell'integrale con una nuova variabile (chiamiamola $u$), che sostituita rende l'integrale più semplice. Vediamo che $x-7$ è un buon candidato per la sostituzione. Definiamo la variabile $u$ e assegniamola alla parte prescelta
Ora, per riscrivere $dx$ in termini di $du$, dobbiamo trovare la derivata di $u$. Dobbiamo calcolare $du$, e lo possiamo fare derivando l'equazione di cui sopra
Riscrivere $x$ in termini di $u$
Sostituendo $u$, $dx$ e $x$ nell'integrale e semplificando
Riscrivere l'integranda $u^{11}\left(u+10\right)$ in forma espansa
Espandere l'integrale $\int\left(u^{12}+10u^{11}\right)du$ in $2$ integrali utilizzando la regola della somma degli integrali, per poi risolvere ogni integrale separatamente
L'integrale $\int u^{12}du$ risulta in: $\frac{\left(x-7\right)^{13}}{13}$
L'integrale $\int10u^{11}du$ risulta in: $\frac{5}{6}\left(x-7\right)^{12}$
Raccogliere i risultati di tutti gli integrali
Poiché l'integrale che stiamo risolvendo è un integrale indefinito, quando finiamo di integrare dobbiamo aggiungere la costante di integrazione $C$
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