Esercizio$\int\left(sin\left(x\right)^{13}cos\left(x\right)^3\right)dx$
Soluzione passo-passo
1
Applicare la formula: $\int\sin\left(\theta \right)^n\cos\left(\theta \right)^mdx$$=\frac{-\sin\left(\theta \right)^{\left(n-1\right)}\cos\left(\theta \right)^{\left(m+1\right)}}{n+m}+\frac{n-1}{n+m}\int\sin\left(\theta \right)^{\left(n-2\right)}\cos\left(\theta \right)^mdx$, dove $m=3$ e $n=13$
$\frac{-\sin\left(x\right)^{12}\cos\left(x\right)^{4}}{13+3}+\frac{13-1}{13+3}\int\sin\left(x\right)^{11}\cos\left(x\right)^3dx$
Passi intermedi
2
Semplificare l'espressione
$\frac{-\sin\left(x\right)^{12}\cos\left(x\right)^{4}}{16}+\frac{3}{4}\int\sin\left(x\right)^{11}\cos\left(x\right)^3dx$
Spiegate meglio questo passaggio
Passi intermedi
3
L'integrale $\frac{3}{4}\int\sin\left(x\right)^{11}\cos\left(x\right)^3dx$ risulta in: $\frac{-3\sin\left(x\right)^{10}\cos\left(x\right)^{4}}{56}-\frac{5}{112}\sin\left(x\right)^{8}\cos\left(x\right)^{4}-\frac{1}{28}\sin\left(x\right)^{6}\cos\left(x\right)^{4}+\frac{-3\sin\left(x\right)^{4}\cos\left(x\right)^{4}}{112}-\frac{1}{56}\sin\left(x\right)^{2}\cos\left(x\right)^{4}+\frac{-\cos\left(x\right)^{4}}{112}$
$\frac{-3\sin\left(x\right)^{10}\cos\left(x\right)^{4}}{56}-\frac{5}{112}\sin\left(x\right)^{8}\cos\left(x\right)^{4}-\frac{1}{28}\sin\left(x\right)^{6}\cos\left(x\right)^{4}+\frac{-3\sin\left(x\right)^{4}\cos\left(x\right)^{4}}{112}-\frac{1}{56}\sin\left(x\right)^{2}\cos\left(x\right)^{4}+\frac{-\cos\left(x\right)^{4}}{112}$
Spiegate meglio questo passaggio
4
Raccogliere i risultati di tutti gli integrali
$\frac{-\sin\left(x\right)^{12}\cos\left(x\right)^{4}}{16}+\frac{-\cos\left(x\right)^{4}}{112}-\frac{1}{56}\sin\left(x\right)^{2}\cos\left(x\right)^{4}+\frac{-3\sin\left(x\right)^{4}\cos\left(x\right)^{4}}{112}-\frac{1}{28}\sin\left(x\right)^{6}\cos\left(x\right)^{4}-\frac{5}{112}\sin\left(x\right)^{8}\cos\left(x\right)^{4}+\frac{-3\sin\left(x\right)^{10}\cos\left(x\right)^{4}}{56}$
5
Poiché l'integrale che stiamo risolvendo è un integrale indefinito, quando finiamo di integrare dobbiamo aggiungere la costante di integrazione $C$
$\frac{-\sin\left(x\right)^{12}\cos\left(x\right)^{4}}{16}+\frac{-\cos\left(x\right)^{4}}{112}-\frac{1}{56}\sin\left(x\right)^{2}\cos\left(x\right)^{4}+\frac{-3\sin\left(x\right)^{4}\cos\left(x\right)^{4}}{112}-\frac{1}{28}\sin\left(x\right)^{6}\cos\left(x\right)^{4}-\frac{5}{112}\sin\left(x\right)^{8}\cos\left(x\right)^{4}+\frac{-3\sin\left(x\right)^{10}\cos\left(x\right)^{4}}{56}+C_0$
Risposta finale al problema $\frac{-\sin\left(x\right)^{12}\cos\left(x\right)^{4}}{16}+\frac{-\cos\left(x\right)^{4}}{112}-\frac{1}{56}\sin\left(x\right)^{2}\cos\left(x\right)^{4}+\frac{-3\sin\left(x\right)^{4}\cos\left(x\right)^{4}}{112}-\frac{1}{28}\sin\left(x\right)^{6}\cos\left(x\right)^{4}-\frac{5}{112}\sin\left(x\right)^{8}\cos\left(x\right)^{4}+\frac{-3\sin\left(x\right)^{10}\cos\left(x\right)^{4}}{56}+C_0$