Possiamo risolvere l'integrale $\int\sec\left(2x\right)^5dx$ applicando il metodo dell'integrazione per sostituzione (detto anche U-Substitution). Per prima cosa, dobbiamo identificare una sezione all'interno dell'integrale con una nuova variabile (chiamiamola $u$), che sostituita rende l'integrale più semplice. Vediamo che $2x$ è un buon candidato per la sostituzione. Definiamo la variabile $u$ e assegniamola alla parte prescelta

Sostituendo $u$ e $dx$ nell'integrale e semplificando

Applicare la formula: $\int\frac{x}{c}dx$$=\frac{1}{c}\int xdx$, dove $c=2$ e $x=\sec\left(u\right)^5$

Applicare la formula: $\int\sec\left(\theta \right)^5dx$$=\frac{1}{4}\sec\left(\theta \right)^3\tan\left(\theta \right)+\frac{3}{8}\sec\left(\theta \right)\tan\left(\theta \right)+\frac{3}{8}\ln\left(\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right)+C$, dove $x=u$

Applicare la formula: $x\left(a+b\right)$$=xa+xb$, dove $a=\frac{1}{4}\sec\left(u\right)^3\tan\left(u\right)$, $b=\frac{3}{8}\sec\left(u\right)\tan\left(u\right)+\frac{3}{8}\ln\left(\sec\left(u\right)+\tan\left(u\right)\right)$, $x=\frac{1}{2}$ e $a+b=\frac{1}{4}\sec\left(u\right)^3\tan\left(u\right)+\frac{3}{8}\sec\left(u\right)\tan\left(u\right)+\frac{3}{8}\ln\left(\sec\left(u\right)+\tan\left(u\right)\right)$

Applicare la formula: $x\left(a+b\right)$$=xa+xb$, dove $a=\frac{3}{8}\sec\left(u\right)\tan\left(u\right)$, $b=\frac{3}{8}\ln\left(\sec\left(u\right)+\tan\left(u\right)\right)$, $x=\frac{1}{2}$ e $a+b=\frac{3}{8}\sec\left(u\right)\tan\left(u\right)+\frac{3}{8}\ln\left(\sec\left(u\right)+\tan\left(u\right)\right)$

Poiché l'integrale che stiamo risolvendo è un integrale indefinito, quando finiamo di integrare dobbiamo aggiungere la costante di integrazione $C$