Esercizio
$\int\sin^4\left(\frac{x}{3}\right)cos^4\left(\frac{x}{3}\right)dx$
Soluzione passo-passo
Impara online a risolvere i problemi di passo dopo passo. int(sin(x/3)^4cos(x/3)^4)dx. Possiamo risolvere l'integrale \int\sin\left(\frac{x}{3}\right)^4\cos\left(\frac{x}{3}\right)^4dx applicando il metodo dell'integrazione per sostituzione (detto anche U-Substitution). Per prima cosa, dobbiamo identificare una sezione all'interno dell'integrale con una nuova variabile (chiamiamola u), che sostituita rende l'integrale più semplice. Vediamo che \frac{x}{3} è un buon candidato per la sostituzione. Definiamo la variabile u e assegniamola alla parte prescelta. Ora, per riscrivere dx in termini di du, dobbiamo trovare la derivata di u. Dobbiamo calcolare du, e lo possiamo fare derivando l'equazione di cui sopra. Isolare dx nell'equazione precedente. Sostituendo u e dx nell'integrale e semplificando.
int(sin(x/3)^4cos(x/3)^4)dx
Risposta finale al problema
$\frac{-3\sin\left(\frac{x}{3}\right)^{3}\cos\left(\frac{x}{3}\right)^{5}}{8}-\frac{45}{256}\sin\left(\frac{2x}{3}\right)-\frac{15}{128}x+\frac{-15\cos\left(\frac{x}{3}\right)^{3}\sin\left(\frac{x}{3}\right)}{64}-\frac{3}{16}\cos\left(\frac{x}{3}\right)^{5}\sin\left(\frac{x}{3}\right)+\frac{27}{128}\sin\left(\frac{2x}{3}\right)+\frac{9}{64}x+\frac{9\cos\left(\frac{x}{3}\right)^{3}\sin\left(\frac{x}{3}\right)}{32}+C_0$