Esercizio
$\int\sin^5\left(\frac{x}{3}\right)\cos^5\left(\frac{x}{3}\right)dx$
Soluzione passo-passo
Impara online a risolvere i problemi di passo dopo passo. int(sin(x/3)^5cos(x/3)^5)dx. Possiamo risolvere l'integrale \int\sin\left(\frac{x}{3}\right)^5\cos\left(\frac{x}{3}\right)^5dx applicando il metodo dell'integrazione per sostituzione (detto anche U-Substitution). Per prima cosa, dobbiamo identificare una sezione all'interno dell'integrale con una nuova variabile (chiamiamola u), che sostituita rende l'integrale più semplice. Vediamo che \frac{x}{3} è un buon candidato per la sostituzione. Definiamo la variabile u e assegniamola alla parte prescelta. Ora, per riscrivere dx in termini di du, dobbiamo trovare la derivata di u. Dobbiamo calcolare du, e lo possiamo fare derivando l'equazione di cui sopra. Isolare dx nell'equazione precedente. Sostituendo u e dx nell'integrale e semplificando.
int(sin(x/3)^5cos(x/3)^5)dx
Risposta finale al problema
$\frac{-3\sin\left(\frac{x}{3}\right)^{4}\cos\left(\frac{x}{3}\right)^{6}}{10}-\frac{1}{20}\cos\left(\frac{x}{3}\right)^{6}-\frac{3}{20}\sin\left(\frac{x}{3}\right)^{2}\cos\left(\frac{x}{3}\right)^{6}+C_0$