Risolvere: $\int\sin\left(v\right)^8\cos\left(v\right)^3dv$
Esercizio$\int\sin^8\left(v\right)cos^3\left(v\right)dx$
Soluzione passo-passo
1
Applicare la formula: $\int\sin\left(\theta \right)^n\cos\left(\theta \right)^mdx$$=\frac{-\sin\left(\theta \right)^{\left(n-1\right)}\cos\left(\theta \right)^{\left(m+1\right)}}{n+m}+\frac{n-1}{n+m}\int\sin\left(\theta \right)^{\left(n-2\right)}\cos\left(\theta \right)^mdx$, dove $x=v$, $m=3$ e $n=8$
$\frac{-\sin\left(v\right)^{7}\cos\left(v\right)^{4}}{8+3}+\frac{8-1}{8+3}\int\sin\left(v\right)^{6}\cos\left(v\right)^3dv$
Passi intermedi
2
Semplificare l'espressione
$\frac{-\sin\left(v\right)^{7}\cos\left(v\right)^{4}}{11}+\frac{7}{11}\int\sin\left(v\right)^{6}\cos\left(v\right)^3dv$
Spiegate meglio questo passaggio
Passi intermedi
3
L'integrale $\frac{7}{11}\int\sin\left(v\right)^{6}\cos\left(v\right)^3dv$ risulta in: $\frac{-7\sin\left(v\right)^{5}\cos\left(v\right)^{4}}{99}-\frac{5}{99}\sin\left(v\right)^{3}\cos\left(v\right)^{4}+\frac{1}{99}\cos\left(v\right)^{2}\sin\left(v\right)+\frac{2}{99}\sin\left(v\right)-\frac{1}{33}\cos\left(v\right)^{4}\sin\left(v\right)$
$\frac{-7\sin\left(v\right)^{5}\cos\left(v\right)^{4}}{99}-\frac{5}{99}\sin\left(v\right)^{3}\cos\left(v\right)^{4}+\frac{1}{99}\cos\left(v\right)^{2}\sin\left(v\right)+\frac{2}{99}\sin\left(v\right)-\frac{1}{33}\cos\left(v\right)^{4}\sin\left(v\right)$
Spiegate meglio questo passaggio
4
Raccogliere i risultati di tutti gli integrali
$\frac{-\sin\left(v\right)^{7}\cos\left(v\right)^{4}}{11}+\frac{1}{99}\cos\left(v\right)^{2}\sin\left(v\right)+\frac{2}{99}\sin\left(v\right)-\frac{1}{33}\cos\left(v\right)^{4}\sin\left(v\right)-\frac{5}{99}\sin\left(v\right)^{3}\cos\left(v\right)^{4}+\frac{-7\sin\left(v\right)^{5}\cos\left(v\right)^{4}}{99}$
5
Poiché l'integrale che stiamo risolvendo è un integrale indefinito, quando finiamo di integrare dobbiamo aggiungere la costante di integrazione $C$
$\frac{-\sin\left(v\right)^{7}\cos\left(v\right)^{4}}{11}+\frac{1}{99}\cos\left(v\right)^{2}\sin\left(v\right)+\frac{2}{99}\sin\left(v\right)-\frac{1}{33}\cos\left(v\right)^{4}\sin\left(v\right)-\frac{5}{99}\sin\left(v\right)^{3}\cos\left(v\right)^{4}+\frac{-7\sin\left(v\right)^{5}\cos\left(v\right)^{4}}{99}+C_0$
Risposta finale al problema $\frac{-\sin\left(v\right)^{7}\cos\left(v\right)^{4}}{11}+\frac{1}{99}\cos\left(v\right)^{2}\sin\left(v\right)+\frac{2}{99}\sin\left(v\right)-\frac{1}{33}\cos\left(v\right)^{4}\sin\left(v\right)-\frac{5}{99}\sin\left(v\right)^{3}\cos\left(v\right)^{4}+\frac{-7\sin\left(v\right)^{5}\cos\left(v\right)^{4}}{99}+C_0$