Esercizio$\int\sin^8\left(x\right)\cos^2xdx$
Soluzione passo-passo
1
Applicare la formula: $\int\sin\left(\theta \right)^n\cos\left(\theta \right)^mdx$$=\frac{-\sin\left(\theta \right)^{\left(n-1\right)}\cos\left(\theta \right)^{\left(m+1\right)}}{n+m}+\frac{n-1}{n+m}\int\sin\left(\theta \right)^{\left(n-2\right)}\cos\left(\theta \right)^mdx$, dove $m=2$ e $n=8$
$\frac{-\sin\left(x\right)^{7}\cos\left(x\right)^{3}}{8+2}+\frac{8-1}{8+2}\int\sin\left(x\right)^{6}\cos\left(x\right)^2dx$
Passi intermedi
2
Semplificare l'espressione
$\frac{-\sin\left(x\right)^{7}\cos\left(x\right)^{3}}{10}+\frac{7}{10}\int\sin\left(x\right)^{6}\cos\left(x\right)^2dx$
Spiegate meglio questo passaggio
Passi intermedi
3
L'integrale $\frac{7}{10}\int\sin\left(x\right)^{6}\cos\left(x\right)^2dx$ risulta in: $\frac{-7\sin\left(x\right)^{5}\cos\left(x\right)^{3}}{80}+\frac{-7\sin\left(x\right)^{3}\cos\left(x\right)^{3}}{96}+\frac{7}{64}x+\frac{7}{128}\sin\left(2x\right)+\frac{-7\cos\left(x\right)^{3}\sin\left(x\right)}{128}-\frac{21}{128}\left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\sin\left(2x\right)\right)$
$\frac{-7\sin\left(x\right)^{5}\cos\left(x\right)^{3}}{80}+\frac{-7\sin\left(x\right)^{3}\cos\left(x\right)^{3}}{96}+\frac{7}{64}x+\frac{7}{128}\sin\left(2x\right)+\frac{-7\cos\left(x\right)^{3}\sin\left(x\right)}{128}-\frac{21}{128}\left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\sin\left(2x\right)\right)$
Spiegate meglio questo passaggio
4
Raccogliere i risultati di tutti gli integrali
$\frac{-\sin\left(x\right)^{7}\cos\left(x\right)^{3}}{10}+\frac{7}{64}x+\frac{7}{128}\sin\left(2x\right)+\frac{-7\cos\left(x\right)^{3}\sin\left(x\right)}{128}-\frac{21}{128}\left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\sin\left(2x\right)\right)+\frac{-7\sin\left(x\right)^{3}\cos\left(x\right)^{3}}{96}+\frac{-7\sin\left(x\right)^{5}\cos\left(x\right)^{3}}{80}$
5
Poiché l'integrale che stiamo risolvendo è un integrale indefinito, quando finiamo di integrare dobbiamo aggiungere la costante di integrazione $C$
$\frac{-\sin\left(x\right)^{7}\cos\left(x\right)^{3}}{10}+\frac{7}{64}x+\frac{7}{128}\sin\left(2x\right)+\frac{-7\cos\left(x\right)^{3}\sin\left(x\right)}{128}-\frac{21}{128}\left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\sin\left(2x\right)\right)+\frac{-7\sin\left(x\right)^{3}\cos\left(x\right)^{3}}{96}+\frac{-7\sin\left(x\right)^{5}\cos\left(x\right)^{3}}{80}+C_0$
Risposta finale al problema $\frac{-\sin\left(x\right)^{7}\cos\left(x\right)^{3}}{10}+\frac{7}{64}x+\frac{7}{128}\sin\left(2x\right)+\frac{-7\cos\left(x\right)^{3}\sin\left(x\right)}{128}-\frac{21}{128}\left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\sin\left(2x\right)\right)+\frac{-7\sin\left(x\right)^{3}\cos\left(x\right)^{3}}{96}+\frac{-7\sin\left(x\right)^{5}\cos\left(x\right)^{3}}{80}+C_0$