Possiamo risolvere l'integrale $\int2\sqrt{-\left(x+\frac{5}{2}\right)^2+4}dx$ applicando il metodo di integrazione della sostituzione trigonometrica utilizzando la sostituzione

Applicare la formula: $\left(ab\right)^n$$=a^nb^n$, dove $a=2$, $b=\sin\left(\theta \right)$ e $n=2$

Applicare la formula: $x+ax$$=x\left(1+a\right)$, dove $a=-\sin\left(\theta \right)^2$ e $x=4$

Applicare la formula: $\left(ab\right)^n$$=a^nb^n$, dove $a=4$, $b=1-\sin\left(\theta \right)^2$ e $n=\frac{1}{2}$

Applying the trigonometric identity: $1-\sin\left(\theta \right)^2 = \cos\left(\theta \right)^2$

Applicare la formula: $\int cxdx$$=c\int xdx$, dove $c=4$ e $x=2\sqrt{\cos\left(\theta \right)^2}\cos\left(\theta \right)$

Simplify $\sqrt{\cos\left(\theta \right)^2}$ using the power of a power property: $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$. In the expression, $m$ equals $2$ and $n$ equals $\frac{1}{2}$

Applicare la formula: $x\cdot x$$=x^2$, dove $x=\cos\left(\theta \right)$

Applicare la formula: $\int\cos\left(\theta \right)^2dx$$=\frac{1}{2}\theta +\frac{1}{4}\sin\left(2\theta \right)+C$, dove $x=\theta $

Esprimere la variabile $\theta$ in termini della variabile originale $x$

Applicare l'identità trigonometrica: $\sin\left(2\theta \right)$$=2\sin\left(\theta \right)\cos\left(\theta \right)$, dove $x=\theta $

Applicare la formula: $\frac{a}{b}c$$=\frac{ca}{b}$, dove $a=1$, $b=4$, $c=2$, $a/b=\frac{1}{4}$ e $ca/b=2\left(\frac{1}{4}\right)\sin\left(\theta \right)\cos\left(\theta \right)$

Poiché l'integrale che stiamo risolvendo è un integrale indefinito, quando finiamo di integrare dobbiamo aggiungere la costante di integrazione $C$