Esercizio$\int cos^3x\cdot sin^{11}xdx$
Soluzione passo-passo
1
Applicare la formula: $\int\sin\left(\theta \right)^n\cos\left(\theta \right)^mdx$$=\frac{-\sin\left(\theta \right)^{\left(n-1\right)}\cos\left(\theta \right)^{\left(m+1\right)}}{n+m}+\frac{n-1}{n+m}\int\sin\left(\theta \right)^{\left(n-2\right)}\cos\left(\theta \right)^mdx$, dove $m=3$ e $n=11$
$\frac{-\sin\left(x\right)^{10}\cos\left(x\right)^{4}}{11+3}+\frac{11-1}{11+3}\int\sin\left(x\right)^{9}\cos\left(x\right)^3dx$
Passi intermedi
2
Semplificare l'espressione
$\frac{-\sin\left(x\right)^{10}\cos\left(x\right)^{4}}{14}+\frac{5}{7}\int\sin\left(x\right)^{9}\cos\left(x\right)^3dx$
Spiegate meglio questo passaggio
Passi intermedi
3
L'integrale $\frac{5}{7}\int\sin\left(x\right)^{9}\cos\left(x\right)^3dx$ risulta in: $\frac{-5\sin\left(x\right)^{8}\cos\left(x\right)^{4}}{84}-\frac{1}{21}\sin\left(x\right)^{6}\cos\left(x\right)^{4}-\frac{1}{28}\sin\left(x\right)^{4}\cos\left(x\right)^{4}+\frac{-\sin\left(x\right)^{2}\cos\left(x\right)^{4}}{42}+\frac{-\cos\left(x\right)^{4}}{84}$
$\frac{-5\sin\left(x\right)^{8}\cos\left(x\right)^{4}}{84}-\frac{1}{21}\sin\left(x\right)^{6}\cos\left(x\right)^{4}-\frac{1}{28}\sin\left(x\right)^{4}\cos\left(x\right)^{4}+\frac{-\sin\left(x\right)^{2}\cos\left(x\right)^{4}}{42}+\frac{-\cos\left(x\right)^{4}}{84}$
Spiegate meglio questo passaggio
4
Raccogliere i risultati di tutti gli integrali
$\frac{-\sin\left(x\right)^{10}\cos\left(x\right)^{4}}{14}+\frac{-\cos\left(x\right)^{4}}{84}+\frac{-\sin\left(x\right)^{2}\cos\left(x\right)^{4}}{42}-\frac{1}{28}\sin\left(x\right)^{4}\cos\left(x\right)^{4}-\frac{1}{21}\sin\left(x\right)^{6}\cos\left(x\right)^{4}+\frac{-5\sin\left(x\right)^{8}\cos\left(x\right)^{4}}{84}$
5
Poiché l'integrale che stiamo risolvendo è un integrale indefinito, quando finiamo di integrare dobbiamo aggiungere la costante di integrazione $C$
$\frac{-\sin\left(x\right)^{10}\cos\left(x\right)^{4}}{14}+\frac{-\cos\left(x\right)^{4}}{84}+\frac{-\sin\left(x\right)^{2}\cos\left(x\right)^{4}}{42}-\frac{1}{28}\sin\left(x\right)^{4}\cos\left(x\right)^{4}-\frac{1}{21}\sin\left(x\right)^{6}\cos\left(x\right)^{4}+\frac{-5\sin\left(x\right)^{8}\cos\left(x\right)^{4}}{84}+C_0$
Risposta finale al problema $\frac{-\sin\left(x\right)^{10}\cos\left(x\right)^{4}}{14}+\frac{-\cos\left(x\right)^{4}}{84}+\frac{-\sin\left(x\right)^{2}\cos\left(x\right)^{4}}{42}-\frac{1}{28}\sin\left(x\right)^{4}\cos\left(x\right)^{4}-\frac{1}{21}\sin\left(x\right)^{6}\cos\left(x\right)^{4}+\frac{-5\sin\left(x\right)^{8}\cos\left(x\right)^{4}}{84}+C_0$