Esercizio$\int tan^{15}\:x\:dx$
Soluzione passo-passo
1
Applicare la formula: $\int\tan\left(\theta \right)^ndx$$=\frac{1}{n-1}\tan\left(\theta \right)^{\left(n-1\right)}-\int\tan\left(\theta \right)^{\left(n-2\right)}dx$, dove $n=15$
$\frac{1}{15-1}\tan\left(x\right)^{14}-\int\tan\left(x\right)^{13}dx$
2
Applicare la formula: $a+b$$=a+b$, dove $a=15$, $b=-1$ e $a+b=15-1$
$\frac{1}{14}\tan\left(x\right)^{14}-\int\tan\left(x\right)^{13}dx$
Passi intermedi
3
L'integrale $-\int\tan\left(x\right)^{13}dx$ risulta in: $-\frac{1}{12}\tan\left(x\right)^{12}+\frac{1}{10}\tan\left(x\right)^{10}-\frac{1}{8}\tan\left(x\right)^{8}+\frac{1}{6}\tan\left(x\right)^{6}-\frac{1}{4}\tan\left(x\right)^{4}+\frac{1}{2}\tan\left(x\right)^2+\ln\left(\cos\left(x\right)\right)$
$-\frac{1}{12}\tan\left(x\right)^{12}+\frac{1}{10}\tan\left(x\right)^{10}-\frac{1}{8}\tan\left(x\right)^{8}+\frac{1}{6}\tan\left(x\right)^{6}-\frac{1}{4}\tan\left(x\right)^{4}+\frac{1}{2}\tan\left(x\right)^2+\ln\left(\cos\left(x\right)\right)$
Spiegate meglio questo passaggio
4
Raccogliere i risultati di tutti gli integrali
$\frac{1}{14}\tan\left(x\right)^{14}+\frac{1}{2}\tan\left(x\right)^2+\ln\left|\cos\left(x\right)\right|-\frac{1}{4}\tan\left(x\right)^{4}+\frac{1}{6}\tan\left(x\right)^{6}-\frac{1}{8}\tan\left(x\right)^{8}+\frac{1}{10}\tan\left(x\right)^{10}-\frac{1}{12}\tan\left(x\right)^{12}$
5
Poiché l'integrale che stiamo risolvendo è un integrale indefinito, quando finiamo di integrare dobbiamo aggiungere la costante di integrazione $C$
$\frac{1}{14}\tan\left(x\right)^{14}+\frac{1}{2}\tan\left(x\right)^2+\ln\left|\cos\left(x\right)\right|-\frac{1}{4}\tan\left(x\right)^{4}+\frac{1}{6}\tan\left(x\right)^{6}-\frac{1}{8}\tan\left(x\right)^{8}+\frac{1}{10}\tan\left(x\right)^{10}-\frac{1}{12}\tan\left(x\right)^{12}+C_0$
Risposta finale al problema $\frac{1}{14}\tan\left(x\right)^{14}+\frac{1}{2}\tan\left(x\right)^2+\ln\left|\cos\left(x\right)\right|-\frac{1}{4}\tan\left(x\right)^{4}+\frac{1}{6}\tan\left(x\right)^{6}-\frac{1}{8}\tan\left(x\right)^{8}+\frac{1}{10}\tan\left(x\right)^{10}-\frac{1}{12}\tan\left(x\right)^{12}+C_0$