Esercizio
$\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{3}{4}}\left(\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{x}}\right)dx$
Soluzione passo-passo
Impara online a risolvere i problemi di passo dopo passo. int(((1-x)^(1/2))/(x^(1/2)))dx&1/4&3/4. Possiamo risolvere l'integrale \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{3}{4}}\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{x}}dx applicando il metodo dell'integrazione per sostituzione (detto anche U-Substitution). Per prima cosa, dobbiamo identificare una sezione all'interno dell'integrale con una nuova variabile (chiamiamola u), che sostituita rende l'integrale più semplice. Vediamo che \sqrt{x} è un buon candidato per la sostituzione. Definiamo la variabile u e assegniamola alla parte prescelta. Ora, per riscrivere dx in termini di du, dobbiamo trovare la derivata di u. Dobbiamo calcolare du, e lo possiamo fare derivando l'equazione di cui sopra. Isolare dx nell'equazione precedente. Riscrivere x in termini di u.
int(((1-x)^(1/2))/(x^(1/2)))dx&1/4&3/4
Risposta finale al problema
$2\left(\frac{1}{2}\arcsin\left(\sqrt{\frac{3}{4}}\right)+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{4}}\sqrt{1- \frac{3}{4}}-\left(\frac{1}{2}\arcsin\left(\sqrt{\frac{1}{4}}\right)+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{4}}\sqrt{1- \frac{1}{4}}\right)\right)$