Esercizio
$\int_{-x}^x\left(\frac{2xy}{\left(\left(y\right)^2+2x\right)^{\frac{3}{2}}}\right)dx$
Soluzione passo-passo
Impara online a risolvere i problemi di passo dopo passo. int((2xy)/((y^2+2x)^(3/2)))dx&-x&x. Semplificare l'espressione. Possiamo risolvere l'integrale \int\frac{x}{\sqrt{\left(y^2+2x\right)^{3}}}dx applicando il metodo dell'integrazione per sostituzione (detto anche U-Substitution). Per prima cosa, dobbiamo identificare una sezione all'interno dell'integrale con una nuova variabile (chiamiamola u), che sostituita rende l'integrale più semplice. Vediamo che y^2+2x è un buon candidato per la sostituzione. Definiamo la variabile u e assegniamola alla parte prescelta. Ora, per riscrivere dx in termini di du, dobbiamo trovare la derivata di u. Dobbiamo calcolare du, e lo possiamo fare derivando l'equazione di cui sopra. Isolare dx nell'equazione precedente.
int((2xy)/((y^2+2x)^(3/2)))dx&-x&x
Risposta finale al problema
$\frac{y\left(y^2+2x\right)\sqrt{y^2-2x}+y^{3}\sqrt{y^2-2x}+\left(-y^2+2x\right)y\sqrt{y^2+2x}-y^{3}\sqrt{y^2+2x}}{\sqrt{y^2+2x}\sqrt{y^2-2x}}$