Risolvere: $\int_{0}^{e^x}\sqrt{1+e^x}dx$
Esercizio
$\int_0^{e^x}\left(1+e^x\right)^{\left(\frac{1}{2}\right)}dy$
Soluzione passo-passo
Impara online a risolvere i problemi di passo dopo passo. int((1+e^x)^(1/2))dx&0&e^x. Possiamo risolvere l'integrale \int_{0}^{e^x}\sqrt{1+e^x}dx applicando il metodo dell'integrazione per sostituzione (detto anche U-Substitution). Per prima cosa, dobbiamo identificare una sezione all'interno dell'integrale con una nuova variabile (chiamiamola u), che sostituita rende l'integrale più semplice. Vediamo che e^x è un buon candidato per la sostituzione. Definiamo la variabile u e assegniamola alla parte prescelta. Ora, per riscrivere dx in termini di du, dobbiamo trovare la derivata di u. Dobbiamo calcolare du, e lo possiamo fare derivando l'equazione di cui sopra. Isolare dx nell'equazione precedente. Sostituendo u e dx nell'integrale e semplificando.
int((1+e^x)^(1/2))dx&0&e^x
Risposta finale al problema
$2\sqrt{1+e^{\left(e^x\right)}}-\ln\left(\sqrt{1+e^{\left(e^x\right)}}+1\right)+\ln\left(\sqrt{1+e^{\left(e^x\right)}}-1\right)-2\sqrt{2}+\ln\left(\sqrt{2}+1\right)-\ln\left(\sqrt{2}-1\right)$