Esercizio
$\int_0^1\:4x\sqrt{1-x^4}dx$
Soluzione passo-passo
Impara online a risolvere i problemi di equazioni trigonometriche passo dopo passo. int(4x(1-x^4)^(1/2))dx&0&1. Applicare la formula: \int_{a}^{b} cxdx=c\int_{a}^{b} xdx, dove a=0, b=1, c=4 e x=x\sqrt{1-x^4}. Possiamo risolvere l'integrale \int_{0}^{1} x\sqrt{1-x^4}dx applicando il metodo dell'integrazione per sostituzione (detto anche U-Substitution). Per prima cosa, dobbiamo identificare una sezione all'interno dell'integrale con una nuova variabile (chiamiamola u), che sostituita rende l'integrale più semplice. Vediamo che x^{2} è un buon candidato per la sostituzione. Definiamo la variabile u e assegniamola alla parte prescelta. Ora, per riscrivere dx in termini di du, dobbiamo trovare la derivata di u. Dobbiamo calcolare du, e lo possiamo fare derivando l'equazione di cui sopra. Isolare dx nell'equazione precedente.
int(4x(1-x^4)^(1/2))dx&0&1
Risposta finale al problema
$4\left(\left(\frac{1}{2}\arcsin\left(1^{2}\right)+\frac{1}{2}\cdot 1^{2}\sqrt{1- 1^{4}}\right)\frac{1}{2}-\left(\frac{1}{2}\arcsin\left(0^{2}\right)+\frac{1}{2}\cdot 0^{2}\sqrt{1- 0^{4}}\right)\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\right)$