Esercizio
$\int_0^3\left(x^2\left(\frac{2}{3}x^3+1\right)^3\right)dx$
Soluzione passo-passo
Impara online a risolvere i problemi di passo dopo passo. int(x^2(2/3x^3+1)^3)dx&0&3. Possiamo risolvere l'integrale \int_{0}^{3} x^2\left(\frac{2}{3}x^3+1\right)^3dx applicando il metodo dell'integrazione per sostituzione (detto anche U-Substitution). Per prima cosa, dobbiamo identificare una sezione all'interno dell'integrale con una nuova variabile (chiamiamola u), che sostituita rende l'integrale più semplice. Vediamo che \frac{2}{3}x^3+1 è un buon candidato per la sostituzione. Definiamo la variabile u e assegniamola alla parte prescelta. Ora, per riscrivere dx in termini di du, dobbiamo trovare la derivata di u. Dobbiamo calcolare du, e lo possiamo fare derivando l'equazione di cui sopra. Isolare dx nell'equazione precedente. Sostituendo u e dx nell'integrale e semplificando.
int(x^2(2/3x^3+1)^3)dx&0&3
Risposta finale al problema
$\frac{\left(\frac{2}{3}\cdot 3^3+1\right)^{4}}{8}- \frac{\left(\frac{2}{3}\cdot 0^3+1\right)^{4}}{8}$