Argomenti

more_from_snapxam

Esercizio

$\left(x-2\right)\frac{dy}{dx}+y=x^2-4$

Soluzione passo-passo

1

Dividere tutti i termini dell'equazione differenziale per $x-2$

$\frac{x-2}{x-2}\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x-2}=\frac{x^2-4}{x-2}$
2

Semplificare

$\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x-2}=x+2$
3

Possiamo identificare che l'equazione differenziale ha la forma: $\frac{dy}{dx} + P(x)\cdot y(x) = Q(x)$, quindi possiamo classificarla come un'equazione differenziale lineare del primo ordine, dove $P(x)=\frac{1}{x-2}$ e $Q(x)=x+2$. Per risolvere l'equazione differenziale, il primo passo è quello di trovare il fattore integrante $\mu(x)$

$\displaystyle\mu\left(x\right)=e^{\int P(x)dx}$
4

Per trovare $\mu(x)$, dobbiamo prima calcolare $\int P(x)dx$

$\int P(x)dx=\int\frac{1}{x-2}dx=\ln\left(x-2\right)$
5

Quindi il fattore di integrazione $\mu(x)$ è

$\mu(x)=x-2$
6

Ora, moltiplicare tutti i termini dell'equazione differenziale per il fattore di integrazione $\mu(x)$ e verificare se è possibile semplificare

$\frac{dy}{dx}\left(x-2\right)+\frac{y}{x-2}\left(x-2\right)=\left(x+2\right)\left(x-2\right)$
7

Possiamo riconoscere che il lato sinistro dell'equazione differenziale consiste nella derivata del prodotto di $\mu(x)\cdot y(x)$

$\frac{d}{dx}\left(\left(x-2\right)y\right)=\left(x+2\right)\left(x-2\right)$
8

Integrate entrambi i lati dell'equazione differenziale rispetto a $dx$

$\int\frac{d}{dx}\left(\left(x-2\right)y\right)dx=\int\left(x+2\right)\left(x-2\right)dx$
9

Semplificare il lato sinistro dell'equazione differenziale

$\left(x-2\right)y=\int\left(x+2\right)\left(x-2\right)dx$
10

Applicare la formula: $\left(a+b\right)\left(a+c\right)$$=a^2-b^2$, dove $a=x$, $b=2$, $c=-2$, $a+c=x-2$ e $a+b=x+2$

$\left(x-2\right)y=\int\left(x^2-4\right)dx$
11

Espandere l'integrale $\int\left(x^2-4\right)dx$ in $2$ integrali utilizzando la regola della somma degli integrali, per poi risolvere ogni integrale separatamente

$\left(x-2\right)y=\int x^2dx+\int-4dx$
12

Risolvere l'integrale $\int x^2dx+\int-4dx$ e sostituire il risultato con l'equazione differenziale

$\left(x-2\right)y=\frac{x^{3}}{3}-4x+C_0$
13

Trovare la soluzione esplicita dell'equazione differenziale. Dobbiamo isolare la variabile $y$

$y=\frac{x^{3}-12x+C_1}{3\left(x-2\right)}$

Risposta finale al problema

$y=\frac{x^{3}-12x+C_1}{3\left(x-2\right)}$

Come posso risolvere questo problema?

  • Scegliere un'opzione
  • Equazione differenziale esatta
  • Equazione differenziale lineare
  • Equazioni differenziali separabili
  • Equazione differenziale omogenea
  • Prodotto di binomi con termine comune
  • Metodo FOIL
  • Per saperne di più...
Non riuscite a trovare un metodo? Segnalatecelo, così potremo aggiungerlo.

Altri esercizi risolti

$\int_0^{\pi}\left(sen\left(x\left(1+p\right)\right)\right)dx$

$\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{2}{x^3}\right)^x$

$\frac{2}{3}x^2-\frac{1}{6}x^2+2x^2-\frac{5}{12}x^2+\frac{4}{5}x^2$

$g\left(x\right)=-x^3+1$

$\int\frac{6x^3}{\left(\sqrt{x^2+9}\right)}dx$

$\int\frac{\left(3\left(x-2\right)+1\right)}{\left(x-4\right)^2-1}dx$

$7v-4v^2+-7+-10$
Modalità simbolica
Modalità testo
Go!
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
a
b
c
d
f
g
m
n
u
v
w
x
y
z
.
(◻)
+
-
×
◻/◻
/
÷
◻2
◻◻
√◻
√

◻√◻
◻√
∞
e
π
ln
log
log◻
lim
d/dx
D□x
∫
∫◻
|◻|
θ
=
>
<
>=
<=
sin
cos
tan
cot
sec
csc

asin
acos
atan
acot
asec
acsc

sinh
cosh
tanh
coth
sech
csch

asinh
acosh
atanh
acoth
asech
acsch

Potenziate lapprendimento della matematica

Iscrivendosi, lutente accetta le condizioni di SnapXam Termini e Informativa sulla privacy.

Avete già un account? Accedi qui
Avete dimenticato la password?

Potenziate lapprendimento della matematica



Registratevi qui se non avete un account.
Avete dimenticato la password?

Il tuo tutor personale di matematica. Potenziato dallintelligenza artificiale

Disponibile 24 ore su 24, 7 giorni su 7, 365 giorni.

Soluzioni matematiche complete passo dopo passo. Senza pubblicità.

Include diversi metodi di risoluzione.

Scaricate le soluzioni in formato PDF.

Accesso premium sulle nostre app per iOS e Android.

Unisciti a più di 500.000 studenti nella risoluzione dei problemi.

Scegliete il vostro piano. Annullamento in qualsiasi momento.
Pagate $39,97 USD in modo sicuro con il vostro metodo di pagamento.
Si prega di attendere mentre il pagamento viene elaborato.
Creare un account