$x^3\frac{dy}{dx}+3x^2y=x$

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Risposta finale al problema

$y=\frac{x^2+C_1}{2x^3}$
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Dividere tutti i termini dell'equazione differenziale per $x^3$

$\frac{x^3}{x^3}\frac{dy}{dx}+\frac{3x^2y}{x^3}=\frac{x}{x^3}$

Applicare la formula: $\frac{a}{a^n}$$=\frac{1}{a^{\left(n-1\right)}}$, dove $a=x$ e $n=3$

$\frac{x^3}{x^3}\frac{dy}{dx}+\frac{3x^2y}{x^3}=\frac{1}{x^{2}}$

Applicare la formula: $\frac{a^m}{a^n}$$=a^{\left(m-n\right)}$, dove $a^n=x^3$, $a^m=x^3$, $a=x$, $a^m/a^n=\frac{x^3}{x^3}$, $m=3$ e $n=3$

$x^{0}\frac{dy}{dx}+\frac{3x^2y}{x^3}=\frac{1}{x^{2}}$

Applicare la formula: $x^0$$=1$

$\frac{dy}{dx}+\frac{3x^2y}{x^3}=\frac{1}{x^{2}}$

Applicare la formula: $\frac{a^m}{a^n}$$=\frac{1}{a^{\left(n-m\right)}}$, dove $a=x$, $m=2$ e $n=3$

$\frac{3y}{x^{3-2}}$

Applicare la formula: $a+b$$=a+b$, dove $a=3$, $b=-2$ e $a+b=3-2$

$\frac{3y}{x^{1}}$

Applicare la formula: $x^1$$=x$

$\frac{dy}{dx}+\frac{3y}{x}=\frac{1}{x^{2}}$
2

Semplificare

$\frac{dy}{dx}+\frac{3y}{x}=\frac{1}{x^{2}}$
3

Possiamo identificare che l'equazione differenziale ha la forma: $\frac{dy}{dx} + P(x)\cdot y(x) = Q(x)$, quindi possiamo classificarla come un'equazione differenziale lineare del primo ordine, dove $P(x)=\frac{3}{x}$ e $Q(x)=\frac{1}{x^{2}}$. Per risolvere l'equazione differenziale, il primo passo è quello di trovare il fattore integrante $\mu(x)$

$\displaystyle\mu\left(x\right)=e^{\int P(x)dx}$

Calcolare l'integrale

$\int\frac{3}{x}dx$

Applicare la formula: $\int\frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, dove $n=3$

$3\ln\left|x\right|$
4

Per trovare $\mu(x)$, dobbiamo prima calcolare $\int P(x)dx$

$\int P(x)dx=\int\frac{3}{x}dx=3\ln\left(x\right)$

Applicare la formula: $e^{a\ln\left(b\right)}$$=b^a$, dove $a=3$, $b=x$ e $2.718281828459045=e$

$x^3$
5

Quindi il fattore di integrazione $\mu(x)$ è

$\mu(x)=x^3$

Applicare la formula: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, dove $a=x^3$, $b=3y$ e $c=x$

$\frac{dy}{dx}x^3+\frac{3yx^3}{x}=\frac{1}{x^{2}}x^3$

Applicare la formula: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, dove $a=x^3$, $b=1$ e $c=x^{2}$

$\frac{dy}{dx}x^3+\frac{3yx^3}{x}=\frac{1x^3}{x^{2}}$

Applicare la formula: $1x$$=x$, dove $x=x^3$

$\frac{dy}{dx}x^3+\frac{3yx^3}{x}=\frac{x^3}{x^{2}}$

Applicare la formula: $\frac{a^m}{a^n}$$=a^{\left(m-n\right)}$, dove $a^n=x^{2}$, $a^m=x^3$, $a=x$, $a^m/a^n=\frac{x^3}{x^{2}}$, $m=3$ e $n=2$

$\frac{dy}{dx}x^3+\frac{3yx^3}{x}=x$

Applicare la formula: $\frac{a^n}{a}$$=a^{\left(n-1\right)}$, dove $a^n/a=\frac{3yx^3}{x}$, $a^n=x^3$, $a=x$ e $n=3$

$\frac{dy}{dx}x^3+3yx^{2}=x$
6

Ora, moltiplicare tutti i termini dell'equazione differenziale per il fattore di integrazione $\mu(x)$ e verificare se è possibile semplificare

$\frac{dy}{dx}x^3+3yx^{2}=x$
7

Possiamo riconoscere che il lato sinistro dell'equazione differenziale consiste nella derivata del prodotto di $\mu(x)\cdot y(x)$

$\frac{d}{dx}\left(x^3y\right)=x$
8

Integrate entrambi i lati dell'equazione differenziale rispetto a $dx$

$\int\frac{d}{dx}\left(x^3y\right)dx=\int xdx$
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Semplificare il lato sinistro dell'equazione differenziale

$x^3y=\int xdx$

Applicare la formula: $\int xdx$$=\frac{1}{2}x^2+C$

$\frac{1}{2}x^2$

Poiché l'integrale che stiamo risolvendo è un integrale indefinito, quando finiamo di integrare dobbiamo aggiungere la costante di integrazione $C$

$\frac{1}{2}x^2+C_0$
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Risolvere l'integrale $\int xdx$ e sostituire il risultato con l'equazione differenziale

$x^3y=\frac{1}{2}x^2+C_0$

Applicare la formula: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, dove $a=x^2$, $b=1$ e $c=2$

$x^3y=\frac{x^2}{2}+C_0$

Unire tutti i termini in un'unica frazione con $2$ come denominatore comune.

$x^3y=\frac{x^2+2\cdot C_0}{2}$

Applicare la formula: $nc$$=cteint$, dove $c=C_0$, $nc=2\cdot C_0$ e $n=2$

$x^3y=\frac{x^2+C_1}{2}$

Applicare la formula: $xa=\frac{b}{c}$$\to x=\frac{b}{ac}$, dove $a=x^3$, $b=x^2+C_1$, $c=2$ e $x=y$

$y=\frac{x^2+C_1}{2x^3}$
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Trovare la soluzione esplicita dell'equazione differenziale. Dobbiamo isolare la variabile $y$

$y=\frac{x^2+C_1}{2x^3}$

Risposta finale al problema

$y=\frac{x^2+C_1}{2x^3}$

Esplorare diversi modi per risolvere il problema

Risolvere un problema matematico utilizzando metodi diversi è importante perché migliora la comprensione, incoraggia il pensiero critico, permette di trovare più soluzioni e sviluppa strategie di risoluzione dei problemi. Per saperne di più

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Traccia della funzione

Tracciatura: $x^3\frac{dy}{dx}+3x^2y-x$

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