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Esercizio

$\frac{dy}{dx}\:-\frac{y}{x}=\frac{x}{3y}$

Soluzione passo-passo

1

Individuiamo che l'equazione differenziale $\frac{dy}{dx}+\frac{-y}{x}=\frac{x}{3y}$ è un'equazione differenziale di Bernoulli poiché è della forma $\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n$, dove $n$ è un numero reale qualsiasi diverso da $0$ e $1$. Per risolvere questa equazione, possiamo applicare la seguente sostituzione. Definiamo una nuova variabile $u$ e poniamola uguale a

$u=y^{\left(1-n\right)}$
2

Inserite il valore di $n$, che è uguale a $-1$

$u=y^{\left(1+1\right)}$
3

Semplificare

$u=y^{2}$
4

Isolare la variabile dipendente $y$

$y=\sqrt{u}$
5

Differenziare entrambi i lati dell'equazione rispetto alla variabile indipendente. $x$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}$
6

Ora si sostituiscono $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}$ e $y=\sqrt{u}$ all'equazione differenziale originale

$\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}+\frac{-\sqrt{u}}{x}=\frac{x}{3\sqrt{u}}$
7

Semplificare

$\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}+\frac{-\sqrt{u}}{x}=\frac{x}{3\sqrt{u}}$
8

Dobbiamo annullare il termine che si trova davanti a $\frac{du}{dx}$. Possiamo farlo moltiplicando l'intera equazione differenziale per $\frac{1}{2}\sqrt{u}$

$\left(\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}+\frac{-\sqrt{u}}{x}=\frac{x}{3\sqrt{u}}\right)\left(\frac{1}{2}\sqrt{u}\right)$
9

Moltiplicare entrambi i lati per $\frac{1}{2}\sqrt{u}$

$\frac{1}{2}\sqrt{u}\left(\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}+\frac{-\sqrt{u}}{x}\right)=\frac{x}{3\sqrt{u}}\frac{1}{2}\sqrt{u}$
10

Espandere e semplificare. Ora vediamo che l'equazione differenziale si presenta come un'equazione differenziale lineare, perché abbiamo rimosso il termine originale $y^{-1}$

$\frac{1}{4}\frac{du}{dx}+\frac{-u}{2x}=\frac{x}{6}$
11

Applicare la formula: $a\frac{dy}{dx}+c=f$$\to \frac{dy}{dx}+\frac{c}{a}=\frac{f}{a}$, dove $a=\frac{1}{4}$, $c=\frac{-u}{2x}$ e $f=\frac{x}{6}$

$\frac{du}{dx}+\frac{-u}{\frac{1}{2}x}=\frac{2x}{3}$
12

Possiamo identificare che l'equazione differenziale ha la forma: $\frac{dy}{dx} + P(x)\cdot y(x) = Q(x)$, quindi possiamo classificarla come un'equazione differenziale lineare del primo ordine, dove $P(x)=\frac{-1}{\frac{1}{2}x}$ e $Q(x)=\frac{2x}{3}$. Per risolvere l'equazione differenziale, il primo passo è quello di trovare il fattore integrante $\mu(x)$

$\displaystyle\mu\left(x\right)=e^{\int P(x)dx}$
13

Per trovare $\mu(x)$, dobbiamo prima calcolare $\int P(x)dx$

$\int P(x)dx=\int\frac{-1}{\frac{1}{2}x}dx=-2\ln\left(x\right)$
14

Quindi il fattore di integrazione $\mu(x)$ è

$\mu(x)=x^{-2}$
15

Ora, moltiplicare tutti i termini dell'equazione differenziale per il fattore di integrazione $\mu(x)$ e verificare se è possibile semplificare

$\frac{du}{dx}x^{-2}-2ux^{-3}=\frac{2x^{-1}}{3}$
16

Possiamo riconoscere che il lato sinistro dell'equazione differenziale consiste nella derivata del prodotto di $\mu(x)\cdot y(x)$

$\frac{d}{dx}\left(x^{-2}u\right)=\frac{2x^{-1}}{3}$
17

Integrate entrambi i lati dell'equazione differenziale rispetto a $dx$

$\int\frac{d}{dx}\left(x^{-2}u\right)dx=\int\frac{2x^{-1}}{3}dx$
18

Semplificare il lato sinistro dell'equazione differenziale

$x^{-2}u=\int\frac{2x^{-1}}{3}dx$
19

Applicare la formula: $\frac{x^a}{b}$$=\frac{1}{bx^{-a}}$, dove $a=-1$ e $b=3$

$x^{-2}u=\int\frac{2}{3x^{1}}dx$
20

Applicare la formula: $x^1$$=x$

$x^{-2}u=\int\frac{2}{3x}dx$
21

Risolvere l'integrale $\int\frac{2}{3x}dx$ e sostituire il risultato con l'equazione differenziale

$x^{-2}u=\frac{2}{3}\ln\left|x\right|+C_0$
22

Sostituire $u$ con il valore $y^{2}$

$x^{-2}y^{2}=\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+C_0$
23

Applicare la formula: $x^a$$=\frac{1}{x^{\left|a\right|}}$

$\frac{1}{x^{2}}y^{2}=\frac{2}{3}\ln\left|x\right|+C_0$
24

Applicare la formula: $a\frac{b}{x}$$=\frac{ab}{x}$

$\frac{y^{2}}{x^{2}}=\frac{2}{3}\ln\left|x\right|+C_0$
25

Trovare la soluzione esplicita dell'equazione differenziale. Dobbiamo isolare la variabile $y$

$y=\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+c_0}x,\:y=-\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+c_0}x$

Risposta finale al problema

$y=\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+c_0}x,\:y=-\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+c_0}x$

Come posso risolvere questo problema?

  • Scegliere un'opzione
  • Equazione differenziale esatta
  • Equazione differenziale lineare
  • Equazione differenziale separabile
  • Equazione differenziale omogenea
  • Prodotto di binomi con termine comune
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