Risposta finale al problema
Soluzione passo-passo
Come posso risolvere questo problema?
- Sostituzione di Weierstrass
- Prodotto di binomi con termine comune
- Metodo FOIL
- Per saperne di più...
Possiamo risolvere l'integrale $\int x^2\sin\left(x\right)dx$ applicando il metodo dell'integrazione tabulare per parti, che ci permette di eseguire integrazioni successive per parti su integrali della forma $\int P(x)T(x) dx$. $P(x)$ è tipicamente una funzione polinomiale e $T(x)$ è una funzione trascendente come $\sin(x)$, $\cos(x)$ e $e^x$. Il primo passo consiste nello scegliere le funzioni $P(x)$ e $T(x)$
Trovare la derivata di $x^2$ rispetto a $x$
Applicare la formula: $\frac{d}{dx}\left(x^a\right)$$=ax^{\left(a-1\right)}$, dove $a=2$
Applicare la formula: $\frac{d}{dx}\left(nx\right)$$=n\frac{d}{dx}\left(x\right)$, dove $n=2$
Applicare la formula: $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$
Applicare la formula: $\frac{d}{dx}\left(c\right)$$=0$, dove $c=2$
Derivare $P(x)$ finché non diventa $0$
Trovare l'integrale di $\sin\left(x\right)$ rispetto a $x$
Applicare la formula: $\int\sin\left(\theta \right)dx$$=-\cos\left(\theta \right)+C$
Applicare la formula: $\int cxdx$$=c\int xdx$, dove $c=-1$ e $x=\cos\left(x\right)$
Applicare la formula: $\int\cos\left(\theta \right)dx$$=\sin\left(\theta \right)+C$
Applicare la formula: $\int cxdx$$=c\int xdx$, dove $c=-1$ e $x=\sin\left(x\right)$
Applicare la formula: $\int\sin\left(\theta \right)dx$$=-\cos\left(\theta \right)+C$
Applicare la formula: $1x$$=x$, dove $x=\cos\left(x\right)$
Integriamo $T(x)$ tante volte quante ne abbiamo dovute ricavare $P(x)$, quindi dobbiamo integrare $\sin\left(x\right)$ un totale di $3$ volte.
Con le derivate e gli integrali di entrambe le funzioni costruiamo la seguente tabella
La soluzione è quindi la somma dei prodotti delle derivate e degli integrali secondo la tabella precedente. Il primo termine consiste nel prodotto della funzione polinomiale per il primo integrale. Il secondo termine è il prodotto della derivata prima per il secondo integrale, e così via.
Poiché l'integrale che stiamo risolvendo è un integrale indefinito, quando finiamo di integrare dobbiamo aggiungere la costante di integrazione $C$
