Possiamo risolvere l'integrale $\int\mathrm{coth}\left(3x\right)dx$ applicando il metodo dell'integrazione per sostituzione (detto anche U-Substitution). Per prima cosa, dobbiamo identificare una sezione all'interno dell'integrale con una nuova variabile (chiamiamola $u$), che sostituita rende l'integrale più semplice. Vediamo che $3x$ è un buon candidato per la sostituzione. Definiamo la variabile $u$ e assegniamola alla parte prescelta

Sostituendo $u$ e $dx$ nell'integrale e semplificando

Applicare la formula: $\int\frac{x}{c}dx$$=\frac{1}{c}\int xdx$, dove $c=3$ e $x=\mathrm{coth}\left(u\right)$

Possiamo risolvere l'integrale $\int\mathrm{coth}\left(u\right)du$ applicando il metodo dell'integrazione per parti per calcolare l'integrale del prodotto di due funzioni, utilizzando la seguente formula

Ora, identificare $dv$ e calcolare $v$

Risolvere l'integrale per trovare $v$

Applicare la formula: $\int cdx$$=cvar+C$, dove $c=1$

Moltiplicare il termine singolo $\frac{1}{3}$ per ciascun termine del polinomio $\left(u\mathrm{coth}\left(u\right)+\int u\mathrm{csch}\left(u\right)^2du\right)$

Applicare la formula: $\frac{a}{b}c$$=\frac{ca}{b}$, dove $a=1$, $b=3$, $c=3$, $a/b=\frac{1}{3}$ e $ca/b=3\cdot \frac{1}{3}x\mathrm{coth}\left(u\right)$

Raccogliere i risultati di tutti gli integrali

Annullare i termini come $x\mathrm{coth}\left(3x\right)$ e $-x\mathrm{coth}\left(3x\right)$

Poiché l'integrale che stiamo risolvendo è un integrale indefinito, quando finiamo di integrare dobbiamo aggiungere la costante di integrazione $C$