Esercizio$\int\frac{1}{\left(sinx+cosx\right)^3}dx$
Soluzione passo-passo
Passi intermedi
1
Semplificare $\frac{1}{\left(\sin\left(x\right)+\cos\left(x\right)\right)^3}$ in $\frac{\csc\left(x+45\right)^3}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}$ applicando le identità trigonometriche.
$\int\frac{\csc\left(x+45\right)^3}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}dx$
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2
Applicare la formula: $\int\frac{x}{c}dx$$=\frac{1}{c}\int xdx$, dove $c=\sqrt{\left(2\right)^{3}}$ e $x=\csc\left(x+45\right)^3$
$\frac{1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\int\csc\left(x+45\right)^3dx$
3
Possiamo risolvere l'integrale $\int\csc\left(x+45\right)^3dx$ applicando il metodo dell'integrazione per sostituzione (detto anche U-Substitution). Per prima cosa, dobbiamo identificare una sezione all'interno dell'integrale con una nuova variabile (chiamiamola $u$), che sostituita rende l'integrale più semplice. Vediamo che $x+45$ è un buon candidato per la sostituzione. Definiamo la variabile $u$ e assegniamola alla parte prescelta
$u=x+45$
Passi intermedi
4
Ora, per riscrivere $dx$ in termini di $du$, dobbiamo trovare la derivata di $u$. Dobbiamo calcolare $du$, e lo possiamo fare derivando l'equazione di cui sopra
$du=dx$
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5
Sostituendo $u$ e $dx$ nell'integrale e semplificando
$\frac{1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\int\csc\left(u\right)^3du$
6
Applicare la formula: $\int\csc\left(\theta \right)^3dx$$=\int\csc\left(\theta \right)^2\csc\left(\theta \right)dx$, dove $dx=du$ e $x=u$
$\frac{1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\int\csc\left(u\right)^2\csc\left(u\right)du$
7
Possiamo risolvere l'integrale $\int\csc\left(u\right)^2\csc\left(u\right)du$ applicando il metodo dell'integrazione per parti per calcolare l'integrale del prodotto di due funzioni, utilizzando la seguente formula
$\displaystyle\int u\cdot dv=u\cdot v-\int v \cdot du$
Passi intermedi
8
Innanzitutto, individuare o scegliere $u$ e calcolarne la derivata, $du$
$\begin{matrix}\displaystyle{u=\csc\left(u\right)}\\ \displaystyle{du=-\csc\left(u\right)\cot\left(u\right)du}\end{matrix}$
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9
Ora, identificare $dv$ e calcolare $v$
$\begin{matrix}\displaystyle{dv=\csc\left(u\right)^2du}\\ \displaystyle{\int dv=\int \csc\left(u\right)^2du}\end{matrix}$
10
Risolvere l'integrale per trovare $v$
$v=\int\csc\left(u\right)^2du$
11
Applicare la formula: $\int\csc\left(\theta \right)^2dx$$=-\cot\left(\theta \right)+C$, dove $x=u$
$-\cot\left(u\right)$
Passi intermedi
12
Ora sostituite i valori di $u$, $du$ e $v$ nell'ultima formula
$\frac{1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\left(-\cot\left(u\right)\csc\left(u\right)-\int\csc\left(u\right)\cot\left(u\right)^2du\right)$
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Passi intermedi
13
Moltiplicare il termine singolo $\frac{1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}$ per ciascun termine del polinomio $\left(-\cot\left(u\right)\csc\left(u\right)-\int\csc\left(u\right)\cot\left(u\right)^2du\right)$
$\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(u\right)\csc\left(u\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\int\csc\left(u\right)\cot\left(u\right)^2du$
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14
Applying the trigonometric identity: $\cot\left(\theta \right)^2 = \csc\left(\theta \right)^2-1$
$\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(u\right)\csc\left(u\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\int\csc\left(u\right)\cot\left(u\right)^2du$
15
Applying the trigonometric identity: $\cot\left(\theta \right)^2 = \csc\left(\theta \right)^2-1$
$\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(u\right)\csc\left(u\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\int\csc\left(u\right)\left(\csc\left(u\right)^2-1\right)du$
16
Applicare la formula: $x\left(a+b\right)$$=xa+xb$, dove $a=\csc\left(u\right)^2$, $b=-1$, $x=\csc\left(u\right)$ e $a+b=\csc\left(u\right)^2-1$
$\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(u\right)\csc\left(u\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\int\left(\csc\left(u\right)\csc\left(u\right)^2-\csc\left(u\right)\right)du$
Passi intermedi
17
Semplificare l'espressione
$\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(u\right)\csc\left(u\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\left(\int\csc\left(u\right)^{3}du+\int-\csc\left(u\right)du\right)$
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Passi intermedi
18
Sostituire $u$ con il valore che gli abbiamo assegnato all'inizio: $x+45$
$\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(x+45\right)\csc\left(x+45\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\left(\int\csc\left(u\right)^{3}du+\int-\csc\left(u\right)du\right)$
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19
Applicare la formula: $x\left(a+b\right)$$=xa+xb$, dove $a=\int\csc\left(u\right)^{3}du$, $b=\int-\csc\left(u\right)du$, $x=\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}$ e $a+b=\int\csc\left(u\right)^{3}du+\int-\csc\left(u\right)du$
$\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(x+45\right)\csc\left(x+45\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\int\csc\left(u\right)^{3}du+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\int-\csc\left(u\right)du$
Passi intermedi
20
L'integrale $\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\int-\csc\left(u\right)du$ risulta in: $\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\ln\left(\csc\left(x+45\right)+\cot\left(x+45\right)\right)$
$\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\ln\left(\csc\left(x+45\right)+\cot\left(x+45\right)\right)$
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21
Questo integrale per parti si è rivelato ciclico (l'integrale che stiamo calcolando compare nuovamente nella parte destra dell'equazione). Possiamo passarlo al lato sinistro dell'equazione con segno opposto
$\int\csc\left(u\right)^{3}du=\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(x+45\right)\csc\left(x+45\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\int\csc\left(u\right)^{3}du+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\ln\left(\csc\left(x+45\right)+\cot\left(x+45\right)\right)$
22
Spostamento dell'integrale ciclico sul lato sinistro dell'equazione
$\int\csc\left(u\right)^{3}du+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\int\csc\left(u\right)^{3}du=\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(x+45\right)\csc\left(x+45\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\ln\left|\csc\left(x+45\right)+\cot\left(x+45\right)\right|$
$\left(\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}+1\right)\int\csc\left(u\right)^{3}du=\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(x+45\right)\csc\left(x+45\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\ln\left|\csc\left(x+45\right)+\cot\left(x+45\right)\right|$
Passi intermedi
$\frac{-1+\sqrt{\left(2\right)^{3}}}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\int\csc\left(u\right)^{3}du=\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(x+45\right)\csc\left(x+45\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\ln\left|\csc\left(x+45\right)+\cot\left(x+45\right)\right|$
Spiegate meglio questo passaggio
25
Spostare il termine costante $\frac{-1+\sqrt{\left(2\right)^{3}}}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}$ dividendo sull'altro lato dell'equazione
$\int\csc\left(u\right)^{3}du=\frac{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}{-1+\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\left(\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(x+45\right)\csc\left(x+45\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\ln\left|\csc\left(x+45\right)+\cot\left(x+45\right)\right|\right)$
26
L'integrale dà come risultato
$\frac{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}{-1+\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\left(\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(x+45\right)\csc\left(x+45\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\ln\left|\csc\left(x+45\right)+\cot\left(x+45\right)\right|\right)$
27
Raccogliere i risultati di tutti gli integrali
$\frac{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}{-1+\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\left(\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(x+45\right)\csc\left(x+45\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\ln\left|\csc\left(x+45\right)+\cot\left(x+45\right)\right|\right)$
28
Poiché l'integrale che stiamo risolvendo è un integrale indefinito, quando finiamo di integrare dobbiamo aggiungere la costante di integrazione $C$
$\frac{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}{-1+\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\left(\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(x+45\right)\csc\left(x+45\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\ln\left|\csc\left(x+45\right)+\cot\left(x+45\right)\right|\right)+C_0$
Passi intermedi
29
Espandere e semplificare
$\frac{-1}{-1+\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(x+45\right)\csc\left(x+45\right)+\frac{-1}{-1+\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\ln\left|\csc\left(x+45\right)+\cot\left(x+45\right)\right|+C_0$
Spiegate meglio questo passaggio
Risposta finale al problema $\frac{-1}{-1+\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(x+45\right)\csc\left(x+45\right)+\frac{-1}{-1+\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\ln\left|\csc\left(x+45\right)+\cot\left(x+45\right)\right|+C_0$
