Possiamo risolvere l'integrale $\int\frac{1}{4\sec\left(x\right)-1}dx$ applicando il metodo di sostituzione di Weierstrass (noto anche come sostituzione del semiangolo tangente) che converte un integrale di funzioni trigonometriche in una funzione razionale di $t$ impostando la sostituzione

Quindi

Sostituendo l'integrale originale si ottiene

Applicare la formula: $\int\frac{ab}{c}dx$$=a\int\frac{b}{c}dx$, dove $a=2$, $b=1-t^{2}$ e $c=\left(4\left(1+t^{2}\right)-\left(1-t^{2}\right)\right)\left(1+t^{2}\right)$

Applicare la formula: $x\left(a+b\right)$$=xa+xb$, dove $a=1$, $b=t^{2}$, $x=4$ e $a+b=1+t^{2}$

Applicare la formula: $x\left(a+b\right)$$=xa+xb$, dove $a=1$, $b=-t^{2}$, $x=-1$ e $a+b=1-t^{2}$

Espandere l'integrale $\int\left(\frac{4}{3+5t^{2}}+\frac{-1}{1+t^{2}}\right)dt$ in $2$ integrali utilizzando la regola della somma degli integrali, per poi risolvere ogni integrale separatamente

Raccogliere i risultati di tutti gli integrali

Sostituire $t$ con il valore che gli abbiamo assegnato all'inizio: $\tan\left(\frac{x}{2}\right)$

Poiché l'integrale che stiamo risolvendo è un integrale indefinito, quando finiamo di integrare dobbiamo aggiungere la costante di integrazione $C$