Possiamo risolvere l'integrale $\int\frac{\sec\left(\frac{1}{x^7}\right)^2}{x^8}dx$ applicando il metodo dell'integrazione per sostituzione (detto anche U-Substitution). Per prima cosa, dobbiamo identificare una sezione all'interno dell'integrale con una nuova variabile (chiamiamola $u$), che sostituita rende l'integrale più semplice. Vediamo che $\frac{1}{x^7}$ è un buon candidato per la sostituzione. Definiamo la variabile $u$ e assegniamola alla parte prescelta
Ora, per riscrivere $dx$ in termini di $du$, dobbiamo trovare la derivata di $u$. Dobbiamo calcolare $du$, e lo possiamo fare derivando l'equazione di cui sopra
Isolare $dx$ nell'equazione precedente
Sostituendo $u$ e $dx$ nell'integrale e semplificando
Applicare la formula: $\int\frac{x}{c}dx$$=\frac{1}{c}\int xdx$, dove $c=-7$ e $x=\sec\left(u\right)^2$
Applicare la formula: $\int\sec\left(\theta \right)^2dx$$=\tan\left(\theta \right)+C$, dove $x=u$
Sostituire $u$ con il valore che gli abbiamo assegnato all'inizio: $\frac{1}{x^7}$
Poiché l'integrale che stiamo risolvendo è un integrale indefinito, quando finiamo di integrare dobbiamo aggiungere la costante di integrazione $C$
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