Esercizio$\int cos^3\left(x\right)sin^{24}\left(x\right)dx$
Soluzione passo-passo
1
Applicare la formula: $\int\sin\left(\theta \right)^n\cos\left(\theta \right)^mdx$$=\frac{-\sin\left(\theta \right)^{\left(n-1\right)}\cos\left(\theta \right)^{\left(m+1\right)}}{n+m}+\frac{n-1}{n+m}\int\sin\left(\theta \right)^{\left(n-2\right)}\cos\left(\theta \right)^mdx$, dove $m=3$ e $n=24$
$\frac{-\sin\left(x\right)^{23}\cos\left(x\right)^{4}}{24+3}+\frac{24-1}{24+3}\int\sin\left(x\right)^{22}\cos\left(x\right)^3dx$
Passi intermedi
2
Semplificare l'espressione
$\frac{-\sin\left(x\right)^{23}\cos\left(x\right)^{4}}{27}+\frac{23}{27}\int\sin\left(x\right)^{22}\cos\left(x\right)^3dx$
Spiegate meglio questo passaggio
Passi intermedi
3
L'integrale $\frac{23}{27}\int\sin\left(x\right)^{22}\cos\left(x\right)^3dx$ risulta in: $\frac{-23\sin\left(x\right)^{21}\cos\left(x\right)^{4}}{675}-\frac{7}{225}\sin\left(x\right)^{19}\cos\left(x\right)^{4}-\frac{19}{675}\sin\left(x\right)^{17}\cos\left(x\right)^{4}-\frac{17}{675}\sin\left(x\right)^{15}\cos\left(x\right)^{4}-\frac{1}{45}\sin\left(x\right)^{13}\cos\left(x\right)^{4}-\frac{13}{90}\cos\left(x\right)^{4}$
$\frac{-23\sin\left(x\right)^{21}\cos\left(x\right)^{4}}{675}-\frac{7}{225}\sin\left(x\right)^{19}\cos\left(x\right)^{4}-\frac{19}{675}\sin\left(x\right)^{17}\cos\left(x\right)^{4}-\frac{17}{675}\sin\left(x\right)^{15}\cos\left(x\right)^{4}-\frac{1}{45}\sin\left(x\right)^{13}\cos\left(x\right)^{4}-\frac{13}{90}\cos\left(x\right)^{4}$
Spiegate meglio questo passaggio
4
Raccogliere i risultati di tutti gli integrali
$\frac{-\sin\left(x\right)^{23}\cos\left(x\right)^{4}}{27}-\frac{13}{90}\cos\left(x\right)^{4}-\frac{1}{45}\sin\left(x\right)^{13}\cos\left(x\right)^{4}-\frac{17}{675}\sin\left(x\right)^{15}\cos\left(x\right)^{4}-\frac{19}{675}\sin\left(x\right)^{17}\cos\left(x\right)^{4}-\frac{7}{225}\sin\left(x\right)^{19}\cos\left(x\right)^{4}+\frac{-23\sin\left(x\right)^{21}\cos\left(x\right)^{4}}{675}$
5
Poiché l'integrale che stiamo risolvendo è un integrale indefinito, quando finiamo di integrare dobbiamo aggiungere la costante di integrazione $C$
$\frac{-\sin\left(x\right)^{23}\cos\left(x\right)^{4}}{27}-\frac{13}{90}\cos\left(x\right)^{4}-\frac{1}{45}\sin\left(x\right)^{13}\cos\left(x\right)^{4}-\frac{17}{675}\sin\left(x\right)^{15}\cos\left(x\right)^{4}-\frac{19}{675}\sin\left(x\right)^{17}\cos\left(x\right)^{4}-\frac{7}{225}\sin\left(x\right)^{19}\cos\left(x\right)^{4}+\frac{-23\sin\left(x\right)^{21}\cos\left(x\right)^{4}}{675}+C_0$
Risposta finale al problema $\frac{-\sin\left(x\right)^{23}\cos\left(x\right)^{4}}{27}-\frac{13}{90}\cos\left(x\right)^{4}-\frac{1}{45}\sin\left(x\right)^{13}\cos\left(x\right)^{4}-\frac{17}{675}\sin\left(x\right)^{15}\cos\left(x\right)^{4}-\frac{19}{675}\sin\left(x\right)^{17}\cos\left(x\right)^{4}-\frac{7}{225}\sin\left(x\right)^{19}\cos\left(x\right)^{4}+\frac{-23\sin\left(x\right)^{21}\cos\left(x\right)^{4}}{675}+C_0$