Esercizio
$\int_1^3\left(\sqrt{1\:+\frac{1}{2\sqrt{x}}}\right)dx$
Soluzione passo-passo
Impara online a risolvere i problemi di passo dopo passo. int((1+1/(2x^(1/2)))^(1/2))dx&1&3. Possiamo risolvere l'integrale \int_{1}^{3}\sqrt{1+\frac{1}{2\sqrt{x}}}dx applicando il metodo dell'integrazione per sostituzione (detto anche U-Substitution). Per prima cosa, dobbiamo identificare una sezione all'interno dell'integrale con una nuova variabile (chiamiamola u), che sostituita rende l'integrale più semplice. Vediamo che 2\sqrt{x} è un buon candidato per la sostituzione. Definiamo la variabile u e assegniamola alla parte prescelta. Ora, per riscrivere dx in termini di du, dobbiamo trovare la derivata di u. Dobbiamo calcolare du, e lo possiamo fare derivando l'equazione di cui sopra. Isolare dx nell'equazione precedente. Riscrivere x in termini di u.
int((1+1/(2x^(1/2)))^(1/2))dx&1&3
Risposta finale al problema
$\frac{1}{4}\sqrt{\left(2\sqrt{3}+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}}\cdot \left(2\sqrt{3}+\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{16}\ln\left|4\sqrt{3}+1+2\sqrt{\left(2\sqrt{3}+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}}\right|-\frac{1}{8}\ln\left|4\sqrt{3}+1+2\sqrt{\left(2\sqrt{3}+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}}\right|-\left(\frac{1}{4}\sqrt{\left(2\sqrt{1}+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}}\cdot \left(2\sqrt{1}+\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{16}\ln\left|4\sqrt{1}+1+2\sqrt{\left(2\sqrt{1}+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}}\right|-\frac{1}{8}\ln\left|4\sqrt{1}+1+2\sqrt{\left(2\sqrt{1}+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}}\right|\right)$