Hier zeigen wir Ihnen Schritt für Schritt ein gelöstes Beispiel für integrale von rationalen funktionen von sinus und kosinus. Diese Lösung wurde automatisch von unserem intelligenten Taschenrechner generiert:
Wir können das Integral $\int \frac{1}{3-\cos\left(x\right)}dx$ lösen, indem wir die Methode der Weierstraß-Substitution (auch bekannt als Tangens-Halbwinkel-Substitution) anwenden, die ein Integral trigonometrischer Funktionen in eine rationale Funktion von $t$ umwandelt, indem wir die Substitution setzen
Daher
Setzt man das ursprüngliche Integral ein, erhält man
Wenden Sie die Formel an: $\frac{a}{b}\frac{c}{f}$$=\frac{ac}{bf}$, wobei $a=1$, $b=3-\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$, $c=2$, $a/b=\frac{1}{3-\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}}$, $f=1+t^{2}$, $c/f=\frac{2}{1+t^{2}}$ und $a/bc/f=\frac{1}{3-\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}}\frac{2}{1+t^{2}}$
Wenden Sie die Formel an: $-\frac{b}{c}$$=\frac{expand\left(-b\right)}{c}$, wobei $b=1-t^{2}$ und $c=1+t^{2}$
Wenden Sie die Formel an: $a+\frac{b}{c}$$=\frac{b+ac}{c}$, wobei $a=3$, $b=-1+t^{2}$, $c=1+t^{2}$, $a+b/c=3+\frac{-1+t^{2}}{1+t^{2}}$ und $b/c=\frac{-1+t^{2}}{1+t^{2}}$
Wenden Sie die Formel an: $\frac{a}{\frac{b}{c}}$$=\frac{ac}{b}$, wobei $a=2$, $b=-1+t^{2}+3\left(1+t^{2}\right)$, $c=1+t^{2}$, $a/b/c=\frac{2}{\frac{-1+t^{2}+3\left(1+t^{2}\right)}{1+t^{2}}\left(1+t^{2}\right)}$ und $b/c=\frac{-1+t^{2}+3\left(1+t^{2}\right)}{1+t^{2}}$
Wenden Sie die Formel an: $\frac{a}{a}$$=1$, wobei $a=1+t^{2}$ und $a/a=\frac{2\left(1+t^{2}\right)}{\left(-1+t^{2}+3\left(1+t^{2}\right)\right)\left(1+t^{2}\right)}$
Vereinfachung
Wenden Sie die Formel an: $\int \frac{n}{a+b}dx$$=n\int \frac{1}{a+b}dx$, wobei $a=-1$, $b=t^{2}+3\left(1+t^{2}\right)$ und $n=2$
Multiplizieren Sie den Einzelterm $3$ mit jedem Term des Polynoms $\left(1+t^{2}\right)$
Wenden Sie die Formel an: $a+b$$=a+b$, wobei $a=3$, $b=-1$ und $a+b=t^{2}+3+3t^{2}-1$
Die Kombination gleicher Begriffe $t^{2}$ und $3t^{2}$
Vereinfachung
Wenden Sie die Formel an: $\left(ab\right)^n$$=a^nb^n$, wobei $a=2$, $b=t^{2}$ und $n=\frac{1}{2}$
Lösen Sie das Integral durch Anwendung der Substitution $u^2=2t^{2}$. Nehmen Sie dann die Quadratwurzel aus beiden Seiten, vereinfacht ergibt sich
Differenzieren Sie beide Seiten der Gleichung $u=\sqrt{2}t$
Finden Sie die Ableitung
Wenden Sie die Formel an: $\frac{d}{dx}\left(cx\right)$$=c\frac{d}{dx}\left(x\right)$
Wenden Sie die Formel an: $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$, wobei $x=t$
Um nun $dt$ in $du$ umzuschreiben, müssen wir die Ableitung von $u$ finden. Um $du$ zu berechnen, können wir die obige Gleichung ableiten
Isolieren Sie $dt$ in der vorherigen Gleichung
Wenden Sie die Formel an: $1x$$=x$, wobei $x=u^2$
Wenden Sie die Formel an: $a\frac{x}{b}$$=\frac{a}{b}x$, wobei $a=2$, $b=2$, $ax/b=2\cdot \left(\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{2}\right)\int \frac{1}{u^2+1}du$, $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ und $x/b=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{2}$
Nachdem alles ersetzt und vereinfacht wurde, ergibt das Integral
Wenden Sie die Formel an: $\int \frac{n}{x^2+b}dx$$=\frac{n}{\sqrt{b}}\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{b}}\right)+C$, wobei $b=1$, $x=u$ und $n=1$
Ersetzen Sie $u$ durch den Wert, den wir ihm am Anfang zugewiesen haben: $\sqrt{2}t$
Ersetzen Sie $u$ durch den Wert, den wir ihm am Anfang zugewiesen haben: $\sqrt{2}t$
Ersetzen Sie $t$ durch den Wert, den wir ihm am Anfang zugewiesen haben: $\tan\left(\frac{x}{2}\right)$
Da das Integral, das wir lösen, ein unbestimmtes Integral ist, müssen wir am Ende der Integration die Integrationskonstante hinzufügen $C$
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