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Calcolatrice di Equazioni differenziali

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asinh
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atanh
acoth
asech
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Hier zeigen wir Ihnen Schritt für Schritt ein gelöstes Beispiel für differentialgleichungen. Diese Lösung wurde automatisch von unserem intelligenten Taschenrechner generiert:

$\frac{dy}{dx}=\sin\left(5x\right)$
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Gruppieren Sie die Terme der Differentialgleichung. Verschieben Sie die Terme der Variablen $y$ auf die linke Seite und die Terme der Variablen $x$ auf die rechte Seite der Gleichung

$dy=\sin\left(5x\right)\cdot dx$
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Wenden Sie die Formel an: $dy=a\cdot dx$$\to \int1dy=\int adx$, wobei $a=\sin\left(5x\right)$

$\int1dy=\int\sin\left(5x\right)dx$

Wenden Sie die Formel an: $\int cdx$$=cvar+C$, wobei $c=1$

$y$
4

Lösen Sie das Integral $\int1dy$ und setzen Sie das Ergebnis in die Differentialgleichung ein

$y=\int\sin\left(5x\right)dx$

Wir können das Integral $\int\sin\left(5x\right)dx$ lösen, indem wir die Methode der Integration durch Substitution (auch U-Substitution genannt) anwenden. Zunächst müssen wir einen Abschnitt innerhalb des Integrals mit einer neuen Variablen identifizieren (nennen wir sie $u$), die, wenn sie substituiert wird, das Integral einfacher macht. Wir sehen, dass $5x$ ein guter Kandidat für die Substitution ist. Definieren wir eine Variable $u$ und weisen sie dem gewählten Teil zu

$u=5x$

Um nun $dx$ in $du$ umzuschreiben, müssen wir die Ableitung von $u$ finden. Um $du$ zu berechnen, können wir die obige Gleichung ableiten

$du=5dx$

Isolieren Sie $dx$ in der vorherigen Gleichung

$dx=\frac{du}{5}$

Setzen Sie $u$ und $dx$ in das Integral ein und vereinfachen Sie

$\int\frac{\sin\left(u\right)}{5}du$

Wenden Sie die Formel an: $\int\frac{x}{c}dx$$=\frac{1}{c}\int xdx$, wobei $c=5$ und $x=\sin\left(u\right)$

$\frac{1}{5}\int\sin\left(u\right)du$

Wenden Sie die Formel an: $\int\sin\left(\theta \right)dx$$=-\cos\left(\theta \right)+C$, wobei $x=u$

$-\left(\frac{1}{5}\right)\cos\left(u\right)$

Wenden Sie die Formel an: $\frac{a}{b}c$$=\frac{ca}{b}$, wobei $a=1$, $b=5$, $c=-1$, $a/b=\frac{1}{5}$ und $ca/b=-\left(\frac{1}{5}\right)\cos\left(u\right)$

$-\frac{1}{5}\cos\left(u\right)$

Ersetzen Sie $u$ durch den Wert, den wir ihm am Anfang zugewiesen haben: $5x$

$-\frac{1}{5}\cos\left(5x\right)$

Da das Integral, das wir lösen, ein unbestimmtes Integral ist, müssen wir am Ende der Integration die Integrationskonstante hinzufügen $C$

$-\frac{1}{5}\cos\left(5x\right)+C_0$
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Lösen Sie das Integral $\int\sin\left(5x\right)dx$ und setzen Sie das Ergebnis in die Differentialgleichung ein

$y=-\frac{1}{5}\cos\left(5x\right)+C_0$

Risposta finale al problema

$y=-\frac{1}{5}\cos\left(5x\right)+C_0$

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