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Esercizio

$\frac{dy}{dx}+\frac{3}{x}y=\frac{1}{x^2}$

Soluzione passo-passo

1

Applicare la formula: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, dove $a=y$, $b=3$ e $c=x$

$\frac{dy}{dx}+\frac{3y}{x}=\frac{1}{x^2}$
2

Possiamo identificare che l'equazione differenziale ha la forma: $\frac{dy}{dx} + P(x)\cdot y(x) = Q(x)$, quindi possiamo classificarla come un'equazione differenziale lineare del primo ordine, dove $P(x)=\frac{3}{x}$ e $Q(x)=\frac{1}{x^2}$. Per risolvere l'equazione differenziale, il primo passo è quello di trovare il fattore integrante $\mu(x)$

$\displaystyle\mu\left(x\right)=e^{\int P(x)dx}$
3

Per trovare $\mu(x)$, dobbiamo prima calcolare $\int P(x)dx$

$\int P(x)dx=\int\frac{3}{x}dx=3\ln\left(x\right)$
4

Quindi il fattore di integrazione $\mu(x)$ è

$\mu(x)=x^3$
5

Ora, moltiplicare tutti i termini dell'equazione differenziale per il fattore di integrazione $\mu(x)$ e verificare se è possibile semplificare

$\frac{dy}{dx}x^3+3yx^{2}=x$
6

Possiamo riconoscere che il lato sinistro dell'equazione differenziale consiste nella derivata del prodotto di $\mu(x)\cdot y(x)$

$\frac{d}{dx}\left(x^3y\right)=x$
7

Integrate entrambi i lati dell'equazione differenziale rispetto a $dx$

$\int\frac{d}{dx}\left(x^3y\right)dx=\int xdx$
8

Semplificare il lato sinistro dell'equazione differenziale

$x^3y=\int xdx$
9

Risolvere l'integrale $\int xdx$ e sostituire il risultato con l'equazione differenziale

$x^3y=\frac{1}{2}x^2+C_0$
10

Trovare la soluzione esplicita dell'equazione differenziale. Dobbiamo isolare la variabile $y$

$y=\frac{x^2+C_1}{2x^3}$

Risposta finale al problema

$y=\frac{x^2+C_1}{2x^3}$

Come posso risolvere questo problema?

  • Scegliere un'opzione
  • Equazione differenziale esatta
  • Equazione differenziale lineare
  • Equazione differenziale separabile
  • Equazione differenziale omogenea
  • Prodotto di binomi con termine comune
  • Metodo FOIL
  • Per saperne di più...
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Argomento principale: Integrali di funzioni polinomiali

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∫◻
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