Qui vi mostriamo un esempio di soluzione passo-passo di integrazione per sostituzione trigonometrica. Questa soluzione è stata generata automaticamente dalla nostra calcolatrice intelligente:
Possiamo risolvere l'integrale $\int \sqrt{x^2+4}dx$ applicando il metodo di integrazione della sostituzione trigonometrica utilizzando la sostituzione
Differenziare entrambi i lati dell'equazione $x=2\tan\left(\theta \right)$
Trovare la derivata
Applicare la formula: $\frac{d}{dx}\left(cx\right)$$=c\frac{d}{dx}\left(x\right)$
Applicare l'identità trigonometrica: $\frac{d}{dx}\left(\tan\left(\theta \right)\right)$$=\frac{d}{dx}\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^2$, dove $x=\theta $
Applicare la formula: $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$, dove $x=\theta $
Ora, per riscrivere $d\theta$ in termini di $dx$, dobbiamo trovare la derivata di $x$. Dobbiamo calcolare $dx$, e lo possiamo fare derivando l'equazione di cui sopra
Applicare la formula: $\left(ab\right)^n$$=a^nb^n$, dove $a=2$, $b=\tan\left(\theta \right)$ e $n=2$
Applicare l'identità trigonometrica: $n+n\tan\left(\theta \right)^2$$=n\sec\left(\theta \right)^2$, dove $x=\theta $ e $n=4$
Applicare la formula: $\left(ab\right)^n$$=a^nb^n$, dove $a=4$, $b=\sec\left(\theta \right)^2$ e $n=\frac{1}{2}$
Applicare la formula: $ab$$=ab$, dove $ab=2\cdot 2\sec\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^2$, $a=2$ e $b=2$
Applicare la formula: $x\cdot x^n$$=x^{\left(n+1\right)}$, dove $x^nx=4\sec\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^2$, $x=\sec\left(\theta \right)$, $x^n=\sec\left(\theta \right)^2$ e $n=2$
Sostituendo l'integrale originale, si ottiene
Applicare la formula: $\int cxdx$$=c\int xdx$, dove $c=4$ e $x=\sec\left(\theta \right)^{3}$
Applicare la formula: $\int \sec\left(\theta \right)^ndx$$=\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{\left(n-1\right)}}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}\int \sec\left(\theta \right)^{\left(n-2\right)}dx$, dove $dx=d\theta$, $x=\theta $ e $n=3$
Applicare la formula: $x\left(a+b\right)$$=xa+xb$, dove $a=\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}}{2}$, $b=\frac{1}{2}\int \sec\left(\theta \right)d\theta$, $x=4$ e $a+b=\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}}{2}+\frac{1}{2}\int \sec\left(\theta \right)d\theta$
Applicare la formula: $a\frac{x}{b}$$=\frac{a}{b}x$, dove $a=4$, $b=2$, $ax/b=4\left(\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}}{2}\right)$, $x=\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}$ e $x/b=\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}}{2}$
Applicare la formula: $\left(\frac{a}{b}\right)^n$$=\frac{a^n}{b^n}$, dove $a=\sqrt{x^2+4}$, $b=2$ e $n=2$
Applicare la formula: $\frac{a}{b}\frac{c}{f}$$=\frac{ac}{bf}$, dove $a=x$, $b=\sqrt{x^2+4}$, $c=x^2+4$, $a/b=\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}$, $f=4$, $c/f=\frac{x^2+4}{4}$ e $a/bc/f=2\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}\right)\left(\frac{x^2+4}{4}\right)$
Applicare la formula: $\frac{a}{a^n}$$=a^{\left(1-n\right)}$, dove $a=x^2+4$ e $n=\frac{1}{2}$
Applicare la formula: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, dove $a=2$, $b=x\sqrt{x^2+4}$ e $c=4$
Esprimere la variabile $\theta$ in termini della variabile originale $x$
Applicare la formula: $\int \sec\left(\theta \right)dx$$=\ln\left(\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right)+C$, dove $x=\theta $
Esprimere la variabile $\theta$ in termini della variabile originale $x$
L'integrale $2\int \sec\left(\theta \right)d\theta$ risulta in: $2\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+4}+x}{2}\right)$
Raccogliere i risultati di tutti gli integrali
Poiché l'integrale che stiamo risolvendo è un integrale indefinito, quando finiamo di integrare dobbiamo aggiungere la costante di integrazione $C$
Applicare la formula: $b\ln\left(\frac{x}{a}\right)+c$$=b\ln\left(x\right)+cteint$, dove $a=2$, $b=2$, $c=C_0$ e $x=\sqrt{x^2+4}+x$
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I problemi più comuni risolti con questa calcolatrice: