Ici, nous vous montrons un exemple résolu étape par étape de intégrales par expansion de fractions partielles. Cette solution a été générée automatiquement par notre calculatrice intelligente :
Réécrire la fraction $\frac{1}{x\left(x+1\right)}$ en $2$ fractions plus simples à l'aide de la décomposition partielle des fractions
Trouvez les valeurs des coefficients inconnus : $A, B$. La première étape consiste à multiplier les deux côtés de l'équation de l'étape précédente par $x\left(x+1\right)$
Multiplication de polynômes
Simplifier
En attribuant des valeurs à $x$, nous obtenons le système d'équations suivant
Procédez à la résolution du système d'équations linéaires
Réécriture sous forme de matrice de coefficients
Réduire la matrice originale à une matrice identité en utilisant l'élimination gaussienne
L'intégrale de $\frac{1}{x\left(x+1\right)}$ en fractions décomposées est égale à
Réécrire la fraction $\frac{1}{x\left(x+1\right)}$ en $2$ fractions plus simples à l'aide de la décomposition partielle des fractions
Développez l'intégrale $\int\left(\frac{1}{x}+\frac{-1}{x+1}\right)dx$ en intégrales $2$ à l'aide de la règle de la somme des intégrales, pour ensuite résoudre chaque intégrale séparément.
Nous pouvons résoudre l'intégrale $\int\frac{-1}{x+1}dx$ en appliquant la méthode d'intégration par substitution (également appelée substitution en U). Tout d'abord, nous devons identifier une section de l'intégrale avec une nouvelle variable (appelons-la $u$), qui, une fois substituée, rend l'intégrale plus facile. Nous voyons que $x+1$ est un bon candidat pour la substitution. Définissons une variable $u$ et assignons-la à la partie choisie
Différencier les deux côtés de l'équation $u=x+1$
Trouver la dérivée
La dérivée d'une somme de deux fonctions ou plus est la somme des dérivées de chaque fonction.
Appliquer la formule : $\frac{d}{dx}\left(c\right)$$=0$, où $c=1$
Appliquer la formule : $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$
Maintenant, pour réécrire $dx$ en termes de $du$, nous devons trouver la dérivée de $u$. Nous devons calculer $du$, ce que nous pouvons faire en dérivant l'équation ci-dessus.
En substituant $u$ et $dx$ dans l'intégrale et en simplifiant
Appliquer la formule : $\int\frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, où $n=1$
L'intégrale $\int\frac{1}{x}dx$ se traduit par : $\ln\left(x\right)$
Appliquer la formule : $\int\frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, où $x=u$ et $n=-1$
Remplacez $u$ par la valeur que nous lui avons attribuée au début : $x+1$
L'intégrale $\int\frac{-1}{u}du$ se traduit par : $-\ln\left(x+1\right)$
Rassembler les résultats de toutes les intégrales
Comme l'intégrale que nous résolvons est une intégrale indéfinie, lorsque nous terminons l'intégration, nous devons ajouter la constante d'intégration $C$
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I problemi più comuni risolti con questa calcolatrice: