Ici, nous vous montrons un exemple résolu étape par étape de limites selon la règle de l'hôpital. Cette solution a été générée automatiquement par notre calculatrice intelligente :
Introduisez la valeur $0$ dans la limite
Appliquer l'identité trigonométrique : $\cos\left(\theta \right)$$=\cos\left(\theta \right)$, où $x=0$
Appliquer la formule : $ab$$=ab$, où $ab=- 1$, $a=-1$ et $b=1$
Appliquer la formule : $a+b$$=a+b$, où $a=1$, $b=-1$ et $a+b=1-1$
Appliquer la formule : $a^b$$=a^b$, où $a=0$, $b=2$ et $a^b=0^2$
Si nous évaluons directement la limite $\lim_{x\to 0}\left(\frac{1-\cos\left(x\right)}{x^2}\right)$ lorsque $x$ tend vers $0$, nous pouvons voir qu'elle nous donne une forme indéterminée
Nous pouvons résoudre cette limite en appliquant la règle de L'Hôpital, qui consiste à calculer la dérivée du numérateur et du dénominateur séparément
Trouver la dérivée du numérateur
La dérivée d'une somme de deux fonctions ou plus est la somme des dérivées de chaque fonction.
Appliquer la formule : $\frac{d}{dx}\left(c\right)$$=0$, où $c=1$
Appliquer la formule : $\frac{d}{dx}\left(cx\right)$$=c\frac{d}{dx}\left(x\right)$
Appliquer l'identité trigonométrique : $\frac{d}{dx}\left(\cos\left(\theta \right)\right)$$=-\sin\left(\theta \right)$
Appliquer la formule : $1x$$=x$, où $x=\sin\left(x\right)$
Trouver la dérivée du dénominateur
Appliquer la formule : $\frac{d}{dx}\left(x^a\right)$$=ax^{\left(a-1\right)}$, où $a=2$
Après avoir dérivé le numérateur et le dénominateur, et simplifié, la limite se traduit par
Introduisez la valeur $0$ dans la limite
Appliquer l'identité trigonométrique : $\sin\left(\theta \right)$$=\sin\left(\theta \right)$, où $x=0$
Appliquer la formule : $ab$$=ab$, où $ab=2\cdot 0$, $a=2$ et $b=0$
Si nous évaluons directement la limite $\lim_{x\to 0}\left(\frac{\sin\left(x\right)}{2x}\right)$ lorsque $x$ tend vers $0$, nous pouvons voir qu'elle nous donne une forme indéterminée
Nous pouvons résoudre cette limite en appliquant la règle de L'Hôpital, qui consiste à calculer la dérivée du numérateur et du dénominateur séparément
Trouver la dérivée du numérateur
Appliquer l'identité trigonométrique : $\frac{d}{dx}\left(\sin\left(\theta \right)\right)$$=\cos\left(\theta \right)$
Trouver la dérivée du dénominateur
Appliquer la formule : $\frac{d}{dx}\left(nx\right)$$=n\frac{d}{dx}\left(x\right)$, où $n=2$
Appliquer la formule : $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$
Après avoir dérivé le numérateur et le dénominateur, et simplifié, la limite se traduit par
Evaluez la limite $\lim_{x\to 0}\left(\frac{\cos\left(x\right)}{2}\right)$ en remplaçant toutes les occurrences de $x$ par $0$
Appliquer l'identité trigonométrique : $\cos\left(\theta \right)$$=\cos\left(\theta \right)$, où $x=0$
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