Qui vi mostriamo un esempio di soluzione passo-passo di limiti di funzioni esponenziali. Questa soluzione è stata generata automaticamente dalla nostra calcolatrice intelligente:
Applicare la formula: $\lim_{x\to c}\left(a^b\right)$$=\lim_{x\to c}\left(e^{b\ln\left(a\right)}\right)$, dove $a=1+3\sin\left(x\right)$, $b=\frac{1}{x}$ e $c=0$
Applicare la formula: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, dove $a=\ln\left(1+3\sin\left(x\right)\right)$, $b=1$ e $c=x$
Applicare la formula: $1x$$=x$, dove $x=\ln\left(1+3\sin\left(x\right)\right)$
Applicare la formula: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, dove $a=\ln\left(1+3\sin\left(x\right)\right)$, $b=1$ e $c=x$
Applicare la formula: $\lim_{x\to c}\left(a^b\right)$$={\left(\lim_{x\to c}\left(a\right)\right)}^{\lim_{x\to c}\left(b\right)}$, dove $a=e$, $b=\frac{\ln\left(1+3\sin\left(x\right)\right)}{x}$ e $c=0$
Applicare la formula: $\lim_{x\to c}\left(a\right)$$=a$, dove $a=e$ e $c=0$
Inserire il valore $0$ nel limite
Applicare l'identità trigonometrica: $\sin\left(\theta \right)$$=\sin\left(\theta \right)$, dove $x=0$
Applicare la formula: $ab$$=ab$, dove $ab=3\cdot 0$, $a=3$ e $b=0$
Applicare la formula: $a+b$$=a+b$, dove $a=1$, $b=0$ e $a+b=1+0$
Applicare la formula: $\ln\left(x\right)$$=logf\left(x,e\right)$, dove $x=1$
Se valutiamo direttamente il limite $\lim_{x\to 0}\left(\frac{\ln\left(1+3\sin\left(x\right)\right)}{x}\right)$ quando $x$ tende a $0$, vediamo che ci dà una forma indeterminata
Possiamo risolvere questo limite applicando la regola di L'Hpital, che consiste nel calcolare la derivata del numeratore e del denominatore separatamente
Trovare la derivata del numeratore
Applicare la formula: $\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x\right)\right)$$=\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\left(x\right)$
La derivata di una somma di due o più funzioni è la somma delle derivate di ciascuna funzione.
Applicare la formula: $\frac{d}{dx}\left(cx\right)$$=c\frac{d}{dx}\left(x\right)$
Applicare l'identità trigonometrica: $\frac{d}{dx}\left(\sin\left(\theta \right)\right)$$=\cos\left(\theta \right)$
Applicare la formula: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, dove $a=3\cos\left(x\right)$, $b=1$ e $c=1+3\sin\left(x\right)$
Trovare la derivata del denominatore
Applicare la formula: $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$
Applicare la formula: $\frac{x}{1}$$=x$, dove $x=\frac{3\cos\left(x\right)}{1+3\sin\left(x\right)}$
Dopo aver ricavato sia il numeratore che il denominatore e aver semplificato, il limite risulta in
Valutare il limite $\lim_{x\to 0}\left(\frac{3\cos\left(x\right)}{1+3\sin\left(x\right)}\right)$ sostituendo tutte le occorrenze di $x$ con $0$
Applicare l'identità trigonometrica: $\sin\left(\theta \right)$$=\sin\left(\theta \right)$, dove $x=0$
Applicare la formula: $ab$$=ab$, dove $ab=3\cdot 0$, $a=3$ e $b=0$
Applicare la formula: $a+b$$=a+b$, dove $a=1$, $b=0$ e $a+b=1+0$
Applicare l'identità trigonometrica: $\cos\left(\theta \right)$$=\cos\left(\theta \right)$, dove $x=0$
Applicare la formula: $ab$$=ab$, dove $ab=3\cdot 1$, $a=3$ e $b=1$
Applicare la formula: $\frac{a}{b}$$=\frac{a}{b}$, dove $a=3$, $b=1$ e $a/b=\frac{3}{1}$
Valutare il limite $\lim_{x\to 0}\left(\frac{3\cos\left(x\right)}{1+3\sin\left(x\right)}\right)$ sostituendo tutte le occorrenze di $x$ con $0$
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I problemi più comuni risolti con questa calcolatrice: