Calcolatrice di Limiti di funzioni esponenziali

Risolvete i vostri problemi di matematica con la nostra calcolatrice Limiti di funzioni esponenziali passo-passo. Migliorate le vostre abilità matematiche con il nostro ampio elenco di problemi impegnativi. Trova tutte le nostre calcolatrici qui.

lim_x→0(1+3sinx)^1x



Modalità simbolica

Modalità testo

Go!



(◻)

◻/◻

◻²

◻^◻

√◻

√

^◻√◻

^◻√

∞

log

log_◻

lim

d/dx

D^□_x

∫

∫^◻

|◻|

sin

cos

tan

cot

sec

csc

asin

acos

atan

acot

asec

acsc

sinh

cosh

tanh

coth

sech

csch

asinh

acosh

atanh

acoth

asech

acsch

 Problemi difficili

Here, we show you a step-by-step solved example of limits of exponential functions. This solution was automatically generated by our smart calculator:

\lim_{x\to0}\left(1+3sinx\right)^{\frac{1}{x}}

Rewrite the limit using the identity: $a^x=e^{x\ln\left(a\right)}$

\lim_{x\to0}\left(e^{\frac{1}{x}\ln\left(1+3\sin\left(x\right)\right)}\right)

Multiplying the fraction by $\ln\left(1+3\sin\left(x\right)\right)$

\lim_{x\to0}\left(e^{\frac{1\ln\left(1+3\sin\left(x\right)\right)}{x}}\right)

Any expression multiplied by $1$ is equal to itself

\lim_{x\to0}\left(e^{\frac{\ln\left(1+3\sin\left(x\right)\right)}{x}}\right)

Multiplying the fraction by $\ln\left(1+3\sin\left(x\right)\right)$

\lim_{x\to0}\left(e^{\frac{\ln\left(1+3\sin\left(x\right)\right)}{x}}\right)

Apply the power rule of limits: $\displaystyle{\lim_{x\to a}f(x)^{g(x)} = \lim_{x\to a}f(x)^{\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)}}$

{\left(\lim_{x\to0}\left(e\right)\right)}^{\lim_{x\to0}\left(\frac{\ln\left(1+3\sin\left(x\right)\right)}{x}\right)}

The limit of a constant is just the constant

e^{\lim_{x\to0}\left(\frac{\ln\left(1+3\sin\left(x\right)\right)}{x}\right)}

Plug in the value $0$ into the limit

\lim_{x\to0}\left(\frac{\ln\left(1+3\sin\left(0\right)\right)}{0}\right)

The sine of $0$ equals $0$

\lim_{x\to0}\left(\frac{\ln\left(1+3\cdot 0\right)}{0}\right)

Multiply $3$ times $0$

\lim_{x\to0}\left(\frac{\ln\left(1+0\right)}{0}\right)

Add the values $1$ and $0$

\lim_{x\to0}\left(\frac{\ln\left(1\right)}{0}\right)

Calculating the natural logarithm of $1$

\lim_{x\to0}\left(\frac{0}{0}\right)

If we directly evaluate the limit $\lim_{x\to0}\left(\frac{\ln\left(1+3\sin\left(x\right)\right)}{x}\right)$ as $x$ tends to $0$ , we can see that it gives us an indeterminate form

\frac{0}{0}

We can solve this limit by applying L'Hôpital's rule, which consists of calculating the derivative of both the numerator and the denominator separately

\lim_{x\to 0}\left(\frac{\frac{d}{dx}\left(\ln\left(1+3\sin\left(x\right)\right)\right)}{\frac{d}{dx}\left(x\right)}\right)

Find the derivative of the numerator

\frac{d}{dx}\left(\ln\left(1+3\sin\left(x\right)\right)\right)

The derivative of the natural logarithm of a function is equal to the derivative of the function divided by that function. If $f(x)=ln\:a$ (where $a$ is a function of $x$ ), then $\displaystyle f'(x)=\frac{a'}{a}$

\frac{1}{1+3\sin\left(x\right)}\frac{d}{dx}\left(1+3\sin\left(x\right)\right)

The derivative of a sum of two or more functions is the sum of the derivatives of each function

\frac{1}{1+3\sin\left(x\right)}\frac{d}{dx}\left(3\sin\left(x\right)\right)

The derivative of a function multiplied by a constant is equal to the constant times the derivative of the function

3\left(\frac{1}{1+3\sin\left(x\right)}\right)\frac{d}{dx}\left(\sin\left(x\right)\right)

The derivative of the sine of a function is equal to the cosine of that function times the derivative of that function, in other words, if ${f(x) = \sin(x)}$ , then ${f'(x) = \cos(x)\cdot D_x(x)}$

3\left(\frac{1}{1+3\sin\left(x\right)}\right)\cos\left(x\right)

Multiplying the fraction by $3\cos\left(x\right)$

\frac{3\cos\left(x\right)}{1+3\sin\left(x\right)}

Find the derivative of the denominator

\frac{d}{dx}\left(x\right)

The derivative of the linear function is equal to $1$

1

Any expression divided by one ( $1$ ) is equal to that same expression

e^{\lim_{x\to0}\left(\frac{3\cos\left(x\right)}{1+3\sin\left(x\right)}\right)}

After deriving both the numerator and denominator, and simplifying, the limit results in

e^{\lim_{x\to0}\left(\frac{3\cos\left(x\right)}{1+3\sin\left(x\right)}\right)}

Evaluate the limit $\lim_{x\to0}\left(\frac{3\cos\left(x\right)}{1+3\sin\left(x\right)}\right)$ by replacing all occurrences of $x$ by $0$

e^{\frac{3\cos\left(0\right)}{1+3\sin\left(0\right)}}

The sine of $0$ equals $0$

e^{\frac{3\cos\left(0\right)}{1+3\cdot 0}}

Multiply $3$ times $0$

e^{\frac{3\cos\left(0\right)}{1+0}}

Add the values $1$ and $0$

e^{\frac{3\cos\left(0\right)}{1}}

The cosine of $0$ equals $1$

e^{\frac{3\cdot 1}{1}}

Multiply $3$ times $1$

e^{\frac{3}{1}}

Divide $3$ by $1$

e^{3}

Evaluate the limit $\lim_{x\to0}\left(\frac{3\cos\left(x\right)}{1+3\sin\left(x\right)}\right)$ by replacing all occurrences of $x$ by $0$

e^{3}

 Risposta finale al problema

e^{3}

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Avete difficoltà in matematica?

 I problemi più diffusi

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